用向量坐标法求夹角与距离

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

用向量坐标法求夹角与距离德化一中 蔡志平

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

一、复习向量的直角坐标运算：已知： a

(a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) Ra b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )

则： ① ②③ ④

a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )

a ( a1 , a2 , a3 )a b a1b1 a2b2 a3b3

⑤当

b 0

时

a // b a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3⑥

a b a b a1b1 a2b2 a3b3 0

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已知：则： ⑦

A( x1 , y1 , z1 )

B( x2 , y2 , z2 )

C( x, y, z)

AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )

⑧

x1 x2 y1 y2 z1 z 2 AC CB x ,y ,z 1 1 1

⑨ AB的中点

x1 x2 y1 y2 z1 z 2 C( , , ) 2 2 2

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二、讲解新知识：①

a a a a a a a a a2 1 2 2 2 3 2 1 2 2

2

2

2 3

② ③

b b b b b b b b b2 1 2 2 2 3 2 1 2 2

2

2

2 3

AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2a1b1 a2b2 a3b3 cos a, b 2 a12 a2 a32 b12 b22 b32 a b a b

④

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⑤

a在b上的射影的长度 d :a b b a1b1 a2b2 a3b3 b b b2 1 2 2 2 3

d a cos a, b ⑥

若a 且b 则a // ba a称叫做平面α的法向量。 ,则

⑦ 平面α的法向量：若

⑧

求平面法向量的方法：待定系数法。

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ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB H棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F

1

A1

1

⑴求BE与DF的夹角θ解：⑴[方法1]:

D AGE EB 172 2 2

CG

在线段AB上取中点G,则GE//DF,∴∠GEB为所求的角，在△GEB中：GB=2,

B

GE EB GB 15 ∴ cos GEB 2GE EB 1715 ∴∠GEB=arccos 17

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F

z

1

A1

1

⑴求BE与DF的夹角θ解：⑴[方法2]: 如图建立空间直角坐标系o-xyz, (分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴) ∵AB=4∴B(4,4,0),D(0,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4) ∴

Dx

C B

y

A

BE (0, 1,4), DF (0,1,4),| BE DF |

15 ∴ cos | cos BE , DF | | BE | | DF | 17

15 ∴ arccos 17

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F

z

1

A1

1

⑵求A到EF的距离d⑵解∵A(4,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4)

DFE (4,2,0),x

C B

y

∴ FA (4, 1, 4),∴ | FA | 33

A

| FE | 2 5| FA FE | | FE | 7 5

设FA在FE上的射影的长度为 n∴n | FA | | COS FA, FB | 2 2

2 145 ∴ d | FA | n 5

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

ABCD A1 B1C1 D1 中， D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上，棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F

z

1

A1

E B1

C1

⑶求A到平面BEF

的距离m ⑷求AF与平面BEF的夹角φ。 ⑶解∵B(4,4,0), E(4,3,4),F(0,1,4) ∴ BE (0, 1,4), FE (4,2,0), 设平面BEF的一个法向量为

Dx

C B

y

A

n ( x, y, z)

∴ n BE y 4z 0 n FE 4x 2 y 0 令y=4得 n ( 2,4,1)

又∵ FA (4, 1, 4), ∴ m | FA | | COS FA, n | ⑷由⑶得: | FA | 33 又∵ 0 216 21 m 21

| FA n | |n|

16 21 21

16 77 ∴ sin 231 | FA |

m

16 77 ∴ arcsin 231

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

已知：△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC沿着平面ABC

的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点

CA CB 3CC1 3 , C1 B1

⑴求BD与AE的夹角θ解：⑴[方法1]: 在线段BC上取中点F,则ED//FB且ED=FB

E A1

D

C

F

B

∴∠AEF或其补角中最小的为所求的角， 13 ∵ CA CB 3CC1 3 ∴ AE EF 2

A22 23 5 AF 2

AE 2 EF 2 AF 2 5 286 ∴ cos AEF 2 AE EF 2865 286 ∴ arccos 286

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

已知：△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC沿着平面ABC

的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点 ⑴求BD与AE的夹角θ ⑴[方法2]: 如图建立空间直角坐标系o-xyz,(分 别以CA、CB、CC1为x、y、z轴) ∵

CA CB 3CC1 3 , z

E A1 A

C1 C

D

B1 By

CA CB 3CC1 3∴ AE ( 1.5,0,1),

x ∴A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0), D(1.5,1.5,1),E(1.5,0,1)

BD (1.5, 1.5,1),| AE BD | | AE | | BD | 5 286 286

∴ cos | cos AE , BD |

∴ arccos

5 286 286

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

已知：△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC沿着平面ABC

的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点

CA CB 3CC1 3 ,z

⑵求A到BE的距离d⑵ 解∵A(3,0,0),B(0,3,0), E(1.5,0,1) ∴ ∴

E BA (3, 3,0), BE (1.5, 3,1), A1| BA | 3 2

C1 C

D

B1 By

| BE | 3.5| BA BE | | BE | 27 7

设BA BE上的射影的长度为 x A 在 n∴ n | BA | | COS BA, BE |

3 17 ∴ d | BA | n 72 2

对其他方法不熟悉的人 可以试着用向量坐标法来进行求解 (注意计算时不要出错)

已知：△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC沿着平面ABC z

的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点

CA CB 3CC1 3 ,

E ⑶求A到平面BDE的距离 m A ⑶解∵DE//BC ∴平面BDE也就是平面BCE, 1 …… 此处隐藏：2887字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……