离散数学—图论(12.6版)

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第8章 图论

第8章

图论

D

判定法则：如果通 问题是要从这四块陆 奇数座桥的地方不 8.1 图的基本概念 地中任何一块开始， 止两个，那么满足 通过每一座桥正好一 要求的路线便不存 8.2 路径和回路 次，再回到起点。 在了。如果只有两 8.3 图的矩阵表示 欧拉在1736年解决了 个地方通奇数座桥， 这个问题 。 则可从其中任何一 8.4 二部图 地出发找到所要求 8.5 平面图 的路线。若没有一 8.6 个地 方通奇数座桥， 树 则从任何一地出发，8.7 有向树 所求的路线都能实 8.8 运输网络 现

A

C

B

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8.1 图的基本概念8.1.1 图 定义8.1―1 一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中

V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从边集E到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。 例1设G=〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7},ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d), ΦG(e4)=(b,c),ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)

则图G可用图8.1―1表示。

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定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。 若边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。 有向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的 端点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无 向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向 边相同。每一条边都是有向边的图称为有向图, 第三章中的 关系图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图 称为无向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边 是无向边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和 无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。

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约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向边又表示无向边时用[a,b]。 有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一 条边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为 有向图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就 得到无向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。 在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由 孤立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条

边称为自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论的各个定理发生重大变化,所以有许多场合 都略去自回路。

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在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无 向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称

这几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数称为边[a,b]的重数。仅有一条时

重数为1,无边时 重数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。 非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。 在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简 单图,关系图都是线图。

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图 8.1―3

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定义 8.1―3赋权图G是一个三重组〈V,E,g〉或四重组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边 的集合,f是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。 右图给出一个赋权图。 V={v1,v2,v3}

E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)}f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11 g(e1)=4.6,g(e2)=7.5

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8.1.2 结点的次数定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点 的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为结点 v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点v的次数 是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。孤立结点 的次数为零。

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定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为V={v1,v2,…,vn},则

i 1

n

deg( i ) 2m

证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数 之和为m条边所提供,所以上式成立。 在有向图中,上式也可写成:

i 1

n

deg ( i ) deg ( i ) 2mi 1

n

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定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。次数为奇数的结点有n2个,记为 Oi (i=1,2,…,n2)。由上一 定理得 证 设次数为偶数的结点有n1个,记为 Ei (i=1,2,…,n1)。

2m deg( i ) deg( Ei ) deg( Oi )i 1 i 1 i 1

n

n1

n2

因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以 前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项

之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。

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图 8.1―5

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定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图, 各结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。

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8.1.3 图的同构定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图,若 存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V,[a,b∈E 当且仅当[Φ(a),Φ(b)]∈E′,并且[a,b]和[Φ(a),Φ(b)] 有相同的重数,则称G和G′是同构的。 上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一 对应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系 (在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图

是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实际上代表同样的组合结构。

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例2(a)、(b)两图是同构的。因为可作映 射:g(1)=v3,g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉, 〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈v3,v1〉,

〈v1,v2〉 和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中仅有的边。

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两图同构的必要条件:(1) 结点数相等; (2) 边数相等; (3) 度数相同的结点数相等。 但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以上 3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次数都是3。 但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b)中的y仅与一个次数 为1的点w邻接。