2013江苏高考数学模拟试题6

南通市2012届高三第一次调研测试

数学Ⅰ

参考公式：

（1）样本数据x1，x2，…，xn的方差s (xi )2，其中 xi.

ni 1ni 1

2

n

n

（2）函数f(x) sin x 的导函数f (x) cos x ，其中 ， 都是常数. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2 x2 1的离心率为 2． 若复数z满足 1 2i z 3 4i（i是虚数单位），则z3． 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是.

4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差

为 ▲ .

（第3题）

5． 设全集U Z，集合A xx2 x 2≥0，x Z，则ðUA （用列举法表示） 6． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a = (1，2)，a b (3，1)，则a b 27． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则

在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .

8. 设P

是函数yx 1 图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角

为 ，则 的取值范围是 ▲ .

9． 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C

分别在函数y x，y

x，y

12

的

x

图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式： 13 1， 13 23 9， 13 23 33 3，6 13 23 33 43 1， 00

……

猜想：13 23 33 n3 （n N*）.

（第9题）

1

11．在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G

为正方形B1BCC1的中心. 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .

12．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x 0π 都成立，则a2 a1的最小值为.

2 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆

2

y 1(a b 0)的左、右焦点，B，C分别为椭 a2b22

圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D. 若cos F1BF2 7，则直线CD的斜率为.

2514．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成

公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的

等比数列. 若a4 a1 88，则q的所有可能的值构成的集合为二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. ．．．．．．．15．(本小题满分14分)

在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.

（1）若2sinAcosC sinB，求a的值；

（2）若sin(2A B) 3sinB，求的值.

tanC16．(本小题满分14分)

如图，在六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1//CC1，A1B A1D，AB AD.求证： （1）AA1 BD； （2）BB1//DD1.

17．(本小题满分14分)

A

（第16题）

(第13题)

D

A11

1

C

将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植.

2

（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用

5

时小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？ 2

（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为

小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间.

18．(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x 1)2 y2 1，圆C2： (x 3)2 (y 4)2 1．

（1）若过点C1( 1， 0)的直线l被圆C2截得的弦长为6，求直线l的方程；

（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长． ①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；

②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x) x sinx．

（1）设P，Q是函数f(x)图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0； （2）求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcosx在 0π 上恒成立．

20. (本小题满分16分)

设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n N*，存在k N*，使得an k2 an an 2k成立，

（第18题）

3

则称数列{an}为“Jk型”数列.

（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2 8，a8 1，求a2n；

（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列.

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数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．

A．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）

如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使

BC CD切半圆O于点D， DE⊥AB，垂足为E．若AE∶EB 3∶1，求DE的长．

B．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）

01 在平面直角坐标系xOy中，直线y kx在矩阵 对应的变换下得到的直线过点10

P(4, 1)，求实数k的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆 asin （a 0）与直线 cos 1相切，求实数a的值．

D．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）

已知正数a，b，c满足abc 1，求证：(a 2)(b 2)(c 2)≥27．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

4

2an

已知数列{an}满足：a1 1，an 1 (n N*)．

an 1

（1）求a2，a3的值；

（2）证明：不等式0 an an 1对于任意n N*都成立． 23．（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．

（1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN x轴；

（3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0）， 求证：直线AB过定点．

（第23题）

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数学Ⅰ参考答案及评分建议

一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2

x2 1的离心率为 2． 若复数z满足 1 2i z 3 4i（i是虚数单位），则z 答案：1 + 2i

3． 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是. 答案：2，1

（第3题）

4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 答案：0.02

5

5． 设全集U Z，集合A xx2 x 2≥0，x Z，则ðUA . 答案：{0，1}

6． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a = (1，2)，a 1b (3，1)，则a b 2 答案：0

7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .