高等数学习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步

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习题10-1

1. 指出下列方程的阶数：

2

(1)x4y y 2xy6 0． (2)LdQ RdQ Q 0． 2

dtcdt

dρ

(3) ρ cos2θ． (4)(y xy)dx 2x2dy 0．

dθ

解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶

2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)xy 2y, y Cx2．

(2)(x+1)dy y2dx, y x+1．

(3)y 2y y 0， y xe x．

2d(4)s 0.4， s 0.2t2 c1t c2． 2dt

解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；

(3)是，因为 y e x xe x,y 2e x xe x，满足y 2y y 0；

2

dsds (4)是，代入， 0.4t C1,2 0.4，显然满足. dt

3. 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程

d2x k2x 0 dt2的通解.

解：x (t) C1ksinkt C2kcoskt,x (t) C1k2coskt C2k2sinkt,满足dx k2x 0，所以2

dt

是解，又因为含有两个任意常数C1,C2，且方程是二阶的，故是通解.

2d4. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程x k2x 0的通解,求满足初始条件 2dt

x| t 0 2 x | t 0 0

2

的特解.

解：上题可知是微分方程通解，且x (t) C1ksinkt C2kcoskt,代入初值条件x|t 0 2,x |t 0 0，得C1 2,C2 0，所以特解为x 2coskt(k 0).

习题10-2

1. 求下列微分方程的通解：

3

(1) y 1 y x 0； (2) y 2x y；

2

(3) sinxcosydy sinycosxdx； (4) dx xydy ydx ydy；

22

(5) y x

2

dydydyx y xy； (6) ； dxdxdxx y

dyy212

(7) ； (8) y tan(x 2y)． 2

2dxxy x

解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得

y 1

两端分别积分：

2

dy= x3dx

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113

y 1 = x4+C,34

这就是方程通解 .

(2)这是可分离变量方程，分离变量得

2 ydy=2xdx

两端分别积分：

2 y 2x+ln2 Cy1,即2x+2 C 0(C ln2 C1)

这就是方程通解 .

(3)这是可分离变量方程，分离变量得

cosysinydy cosx

sinx

dx

两端分别积分：

lnsiny lnsinx lnC,即siny Cesinx

这就是方程通解 .

(4)这是可分离变量方程，分离变量得

yy2

1dy=1x 1

dx

两端分别积分：

12ln(y2 1) ln(x 1)+1

2

lnC,即y2 C(x 1)2+1 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令u

y

dyx,则

dx u dudx

,代入原方程并整理 u 1

u

du dx

两端分别积分：

u lnu x C即

yx lny

x

x C 这就是方程通解 .

(6)这是齐次方程，化简得

1

y

dydx

1 y

x

令u

y

dyx,则

dx u dudx

,代入原方程并整理 u 11 2u u2du dx，两端分别积分：

12ln 2u u2

x 12C2yy2

即ln x x

2 x C 0

这就是方程通解 .

(7)这是齐次方程，化简得

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y dy x

dx1 x

令u

2

dyduy

u ,代入原方程并整理 ,则

xdxdx

u 1

du dx，两端分别积分：u lnu x C uyy即 ln x C 0 xx

这就是方程通解 .

(8)这是特殊方程，用换元法，令u x 2y,则

dy1 du

1 ,代入原方程并整理 dx2 dx

11

cos2udu dx，两端分别积分：u sin2u x C

24

即4y 2x sin(2x 4y) 4C 0

这就是方程通解 .

2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) y ysinx， y(0) 1；

3

x(y2 1)

(2) y 2， y(0) 0； 2

(x 1)dyyy tan，y(1) ； (3)

dxxx6

dxdy

(4) 2，y(0) 1． 22

x xy y2y xy

解 (1)分离变量：

1

dy sinxdx． y3

两端分别积分：

解得：

1

dy sinxdx． y3

1

cosx C． 2y21

将y(0) 1代入通解中，求得C ．故所求特解为

21

2cosx 1． 2y

(2)分离变量：

1x

dy dx． y2 1(x2 1)2

两端分别积分：

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11

arctany 2dx C．

2(x 1)1

将y(0) 0代入通解中，求得C ．故所求特解为

2

111

arctany 2dx ．

2(x 1)2

dyduy

u ,代入原方程并整理 (3) 这是齐次方程,令u ,则

xdxdx

1

du dx. tanu

两边积分得

lnsinu x lnC,即sinu Cex.

变量回代得所求通解

sin

y

Cex. x

1

由y(1) 代入通解，得C e6，故所求初值问题的解为

62

y1

sin e6ex.

x2

3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.

解：设曲线方程为：y f(x)

2y 0y

,且y(1) 2，

0 2xx

C 2，

解分离变量方程得：xy C,由y(1) 2得

由题意可得方程: y

故所求曲线为：xy 2.

4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.

解 设物体的温度T与时间t的函数关系为T T(t),建立该问题的数学模型:

dT(1) k(T 20)

dt

(2) T|t 0 100

其中k(k 0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分

dT

kdt; T 20

1

dT kdt,得ln|T 20| kt C1(其中C1为任意常数)， T 20

即 T 20 e kt C1 eC1e kt Ce kt(其中C eC1). 从而T 20 Ce kt,再将条件(2)代入,得C 100 20 80,

于是，所求规律为T 20 80e kt.

习题10-3

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1. 求下列微分方程的通解：

(1) y ysinx ecosx； (2) 2y y ex；

(3) xy (x 1)y e2x； (4) y2dx (x 2xy y2)dy 0；

3(x 1)y(5) (x ey)y 1； (6) y

2(x 1)2y

解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中P(x) sinx,Q(x) ecosx． 首先求出 Pdx sinxdx cosx (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为

Pdx PdxPdx

y Ce e Qe dx

Cecosx xecosx．

(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中P(x) 1,Q(x) 1ex．

22

首先求出 Pdx x (积分后，不再加任意常数)，

2

然后用公式(10-6)可得所求通解为

Pdx PdxPdx

y Ce e Qe dx

x Ce ．

4

(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中P(x) 1 1,Q(x) 1e2x．

首先求出 Pdx lnx x (积 …… 此处隐藏：14246字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……