欧氏空间的定义与基本性质

第九章 欧氏空间§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间

§6 对称矩阵的标准形§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题

§9.1 定义与基本性质一、欧氏空间的定义二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间

问题的引入：1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R2、 3 , 但几何空间的度量 R 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来：长度：

夹角 , : cos ,

3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.

一、欧氏空间的定义1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量

、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ,若 ( , ) 满足性质： , , V , k R

1 ( , ) ( , ) 2 (k , ) k ( , )

(对称性) (数乘) (可加性)

3 ( , ) , ( , )

4 ( , ) 0, 当且仅当 0 时 ( , ) 0. (正定性)

则称 ( , )为 和 的内积，并称这种定义了内积的实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.

注： 欧氏空间 V是特殊的线性空间① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( , ) R.

例1.在 R n 中，对于向量 a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn 1)定义

( , ) a1b1 a2b2 anbn

(1)

易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ~ 4 . 所以, ( , ) 为内积. 这样 R n 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.

当 n 3 时，1)即为几何空间 R 3 中内积在直角

坐标系下的表达式 . ( , ) 即 .

2)定义 ( , ) a1b1 2a2b2 kak bk nanbn 易证( , ) 满足定义中的性质 1 ~ 4 . 所以 ( , ) 也为内积. 从而 R n 对于内积 ( , ) 也构成一个欧氏空间.

注意：由于对 V , 未必有 ( , ) ( , ) 所以1),2)是两种不同的内积. 从而 R n 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.

例2.C (a , b) 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ,定义

( f , g ) f ( x ) g( x ) dxa

b

(2)

则 C (a , b) 对于(2)作成一个欧氏空间. 证： f ( x ), g( x ), h( x ) C (a , b), k R

1 . ( f , g ) f ( x ) g( x ) dx

g( x ) f ( x ) dx ( g , f ) a a

b

b

2 . ( k f , g ) k f ( x ) g( x ) dx k f ( x ) g( x ) dx a a

b

b

k( f , g )

3 . ( f g , h)

f ( x ) g( x ) h( x ) dx ab b a

f ( x )h( x ) dx g( x )h( x ) dxa

b

( f , h) ( g , h)

4 . ( f , f ) f 2 ( x ) dx a

b

f ( x ) 0,2

( f , f ) 0.

且若 f ( x ) 0, 故

f 2 ( x ) 0, 则

从而 ( f , f ) 0.

( f , f ) 0 f ( x ) 0.

( 因此， f , g ) 为内积， C (a , b) 为欧氏空间.

2. 内积的简单性质V为欧氏空间， , , V , k R1) ( , k ) k ( , ),

k , k k 2 ( , )

2) ( , ) ( , ) ( , )

推广： ( , i ) ( , i )i 1 i 1

s

s

3) (0, ) 0

二、欧氏空间中向量的长度1. 引入长度概念的可能性1)在 R 3 向量 的长度(模) . 2) 欧氏空间V中， , V , ( , ) 0 使得

有意义.

2. 向量长度的定义 , V ,

( , ) 称为向量 的长度.

特别地，当 1时，称 为单位向量.

3. 向量长度的简单性质1) 2)

0; 0 0k k

(3)

3)非零向量 的单位化：

1

.

三、欧氏空间中向量的夹角1. 引入夹角概念的可能性与困难R 3 中向量 与 的夹角 1)在

, arc cos

(4)

2)在一般欧氏空间中推广(4)的形式，首先 应证明不等式： 此即,

( , )

1

2. 柯西-布涅柯夫斯基不等式对欧氏空间V中任意两个向量 、 ,有( , )

(5)

当且仅当 、 线性相关时等号成立. 证：当 0时， ( ,0) 0, ( , ) 0.

0

结论成立.t R

当 0 时，作向量 t ,

由内积的正定性，对 t R,皆有( , ) ( t , t )

( , ) 2( , )t ( , )t 2 0( , ) 取 t 代入(6)式，得 ( , )( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 0 2 ( , ) ( , )2

(6)

即

( , )2 ( , )( , )

两边开方，即得

,

.

当 、 线性相关时，不妨设 k 于是， ( , ) ( k , ) k ( , ) k .2

k k ( , ) .

2

(5)式等号成立.

反之，若(5)式等号成立，由以上证明过程知 或者 0 ,或者

, 0 ,

也即 、 线性相关.