四川大学线性代数课件第三章第三节 克莱默法则

四川大学线性代数课件

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定理4(Cramer法则)组

设线性齐次方程

或简记为AX b1 x1 A (aij ) n n , , X b x n n

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其系数行列式

则方程组(1.23)有唯一解

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其中Dj是用常数项b1,b2,...,bn替换D中第j列所成的行 列式, 即

注意： Cramer法则仅适用于方程个数与 未知量个数相等的情形。

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证 D 0时，方程组有唯一解：A* 1 X0 A D

A11 1 A12 D A 1n

A21 An1 b1 A22 An 2 b2 A2n Ann bn

1 X 0的第j个分量x j D

A bk 1

n

kj k

Dj D

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例1:

用Cramer法则解线性方程组。

2 x1 x 1 x1 解：

x2

5 x3 x3 7 x3r1 2r2r4 r2

x4

8

3 x2 2 x2 4 x2 5 1

6 x4 2 x4 6 x40 7

9 5 0 5 13

2

1

1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6

1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12

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7 5 13 2 1 2 7 7 128 1 5

c1 2c2

3 5

3

0 1 0 27 7 2 c3 2c2 7 7 212 8 5 1 1 9 0 6 D2 108 0 5 1 2 1 0 7 6 2 1 5 8 1 3 0 9 D4 27 0 2 1 5 1 4 7 0

3

3

9 3 0 6 D1 81 5 2 1 2 0 4 7 62 1 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 27 1 4 0 6D1 81 所以 x1 3, D 27

x2 4, x3 1,

x4 1.

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例2 已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四个点x= 1, x= 2处的值为: f(1)=f( 1)=f(2)=6, f( 2) 6, 试求其系数 a0,a1,a2,a3.

解 将三次曲线在4点处的值代入其方程, 得到关于a0,a1,a2,a3的非齐次线性方程组

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它的系数行列式为范德蒙行列式

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所以a0=8, a1 1, a2 2, a3=1, 即所求的三次曲线方 程为 f(x)=8 x 2x2+x3. 由上述解题过程可知, 过n+1个x坐标不同的点 (xi,yi), i=1,2,...,n+1, 可以唯一地确定一个n次曲 线的方程y=a0+a1x+a2x2+...+anxn.

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例3:

求空间的四个平面 ai x bi y ci z d i 0 相交于一点的条件。

解： 四个平面相交于一点，即线性方程组

a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0

有唯一解。

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从另一角度看，形式上可以把 ( x , y , z ,1) 看作是四元 线性方程组

a1 x1 b1 x2 c1 x3 d1 x4 0 a x b x c x d x 0 2 1 2 2 2 3 2 4 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 a4 x1 b4 x2 c4 x3 d 4 x4 0

的一组非零解。

因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 D 0 所以，四平面相交于一点的条件为

a1 a2 a3 a4

b1 b2 b3 b4

c1 c2 c3 c4

d1 d2 0 d3 d4

看P57综合 判断题.