同济大学微积分第三版课件第三章第一节

第一节 不定积分的概念

本节要点本节通过原函数引出了不定积分的概念, 本节通过原函数引出了不定积分的概念 并得到不定 积分的简单性质. 积分的简单性质 一、原函数与不定积分 二、不定积分的计算

一、原函数与不定积分1.原函数 原函数

f ( x) 的求 导问题, 已知, 导问题 而现在的问题是 f ( x ) 已知 求满足 F ′( x) = f ( x) 这类问题就是求原函数问题 原函数问题. 的 F ( x). 这类问题就是求原函数问题

在第二章中曾提出在已知 F ( x )求F ′( x) =

定义 如果在区间 I上的可导函数 F ( x ) 的导函数为 f ( x), 即对任一

F ′ ( x ) = f ( x ) (或 dF ( x ) = f ( x ) dx ) ,

x ∈ I , 都有

上的一个原函数 原函数. 则称函数 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I上的一个原函数 例1 函数 sin x 的一个原函数为 cos x, 这是因为

( cos x )′ = sin x.又如, 又如

ln x + 1 + x 2

(

)

1 ′ = , 1 + x2

故,

1 1 + x2

的原函数为 ln x + 1 + x

(

2

).

我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 我们知道 对函数而言 如果导函数存在的话 导函 数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此, 数是唯一的 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此 我们有下面结论. 我们有下面结论

上连续, 原函数存在定理 如果函数 f ( x) 在区间 I上连续 则在区 间 I 上存在可导函数 F ( x), 使得对任一 x ∈ I , 都有

F ′( x) = f ( x),即连续函数一定有原函数存在. 即连续函数一定有原函数存在 惟一性定理 如果 F ( x )是 f ( x )的原函数 则 F ( x) + C 的原函数,

的原函数.其中 为任意常数; 也是 f ( x) 的原函数 其中 C 为任意常数 并且 的形式. 原函数一定可写成 F ( x ) + C 的形式

f ( x) 的

2.不定积分 不定积分 由上面的讨论, 可得到如下定义. 由上面的讨论 可得到如下定义 的带有任意常数的原函数, 定义 在区间 I上, 函数 f ( x ) 的带有任意常数的原函数 上的不定积分 不定积分, 称为 f ( x ) 在区间 I 上的不定积分 记作 的原函数. 即 f ( x )dx = F ( x ) + C, 其中 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数

∫ f ( x)dx.

∫

由定义, 不难得到下面这些函数的不定积分. 例2 由定义 不难得到下面这些函数的不定积分

′ = 3 x 2 x 2 dx = 1 x 3 + C , (x ) ∫ 3 ′ = 1 1 dx = ln x + C , ( ln x ) x ∫ x ( sin x )′ = cos x cos xdx = sin x + C ,3

∫

( arctan x )′ =

1 1 dx = arctan x + C. 2 ∫ 2 1+ x 1+ x

注1

不能漏掉, 在不定积分表达式中最后的常数 C 不能漏掉 否

则意义将完全改变; 则意义将完全改变 上的连续函数一定存在原函数, 注2 定义在区间 I上的连续函数一定存在原函数 但原 函数不一定能用初等函数来表示. 函数不一定能用初等函数来表示 例如函数

f ( x) = e

x2

( x ∈ ( ∞, +∞ ) )

为连续函数, 但其原函数却不能用初等函数来表示; 为连续函数 但其原函数却不能用初等函数来表示 内存在原函数的函数不一定是连续函数, 注3 在区间 I 内存在原函数的函数不一定是连续函数 例如函数: 例如函数

1 1 x ≠ 0, 2x sin cos f ( x) = x x x = 0, 0 存在间断点 x = 0 ,但 f ( x )在 ( ∞, +∞ ) 存在原函数 2 1 x sin F ( x) = x 0 x ≠ 0, x = 0.

例3 设曲线通过点 (1, 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 设此曲线的方程为 y = f ( x), 由题设得关系

dy = 2 x, dx2 的一个原函数, 即, f ( x )是 2x 的一个原函数 因 2 xdx = x + C , 且曲

线过

(1, 2 )代入曲线方程得 C = 1,y = x + 1.2

∫

故所求曲线的方程为

对例3的说明 对例 的说明: 函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x) 积分 的说明 曲线. 取不同值时, 曲线为平行曲线. 曲线 当常数 C 取不同值时 曲线为平行曲线 因而通 过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线. 过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线y 5 4 3 2 1 X -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

y = x2 + 1 y = x2

3.基本积分公式 基本积分公式

(1) ∫ 0d x = C .dx ( 3) ∫ = ln x + C x dx = arcsin x + C. ( 5) ∫ 2 1 x

xµ +1 + C ( µ ≠ 1) . ( 2) ∫ xµdx = µ +1 dx = arctan x + C. ( 4) ∫ 2 1+ x

( 6 ) ∫ cos xdx = sin x + C.2

( 7 ) ∫ sin xdx = cos x + C. (8) ∫ sec

xdx = tan x + C.

( 9) ∫ csc2 xdx = cot x + C. (10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C.

11) ∫ e x dx = e x + C . (

(12) ∫ csc x cot xdx = csc x + C.

ax 13) ∫ a x dx = + C. (14 ) ∫ sinh xdx = cosh x + C . ( ln a

(15 ) ∫ cosh xdx = sinh x + C.

二、不定积分的计算由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的 性质. 性质

不定积分的性质

d f ( x ) dx = f ( x ) , 性质1 性质 dx ∫

∫ f ′ ( x )dx = f ( x ) + C .

性质2 设函数 f ( x )及 g ( x )的原函数存在 则 的原函数存在, 性质

∫ α f ( x ) + β g ( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x )dx,为任意常数. 其中α , β 为任意常数