浅谈放缩法在不等式证明中的应用(3)

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第一章 引言

不等式在数学学科中占有重要的地位，特别是不等式的证明，因此，学会灵活地运用其证明不等式是我们学习的重点，在不等式的证明中，我们往往遇到从直接给出的已知条件是很难以证明的，这时如果我们对式子进行放大或缩小，使问题发生相应的变化，这样就使问题得以解决，我们称这种方法为放缩法.清楚地说放缩法就是在证明不等式中，利用不等式的传递性，作相应的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明，放缩法的目的性很强，在利用放缩法中，其要求很高，在运用时必须要恰到好处，否则不能达到目的，至于放缩法适用于哪种不等式，这没有明确的规定，这需要我们在学习过程中认真总结、归纳.

第二章 不等式的基本性质及其应用

2.1 不等式的传递性：若A?B,B?C则A?C

我们常常说借别人的东西，就是借别人的东西来使用，在不等式的证明中我们也使用到，当我们不能直接证明A<C时，我们可以借助B，让它起到连接A和C的作用，我们可以先证存在B，使得证A<B,B<C,这样我们就得出A<C，这就是不等式的传性的运用

1?x?nx 例：已知x?0，n?N?且n?2，求证：???1

001nn1??xxc??x????cx证明：? ??cnnnnn

001?cnx?cx n

?1?nx

?1?x1?nx ???n

2.2 利用绝对值不等式的性质： ba?a 在数学证明里，证明两个数（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，当这些方法难以证明时，特别是在绝对值不等式中时，我们可以利用我们学过的绝对值不等式的性质进行证明.

2xx?x?10例：已知f?且x?a?1，求证：f x?f??1?????

22证明：f xf??x?10?a?a?? x?ax?a????

x?x?a??

x?a?1? x?a??1??

x?1?1??

篇三：浅谈用放缩法证明不等式

浅谈用放缩法证明不等式

山东省 许 晔

不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法很多。如：比较法（比差商法）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅，下面仅就用放缩法证明不等式的问题加以证明。

所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，故命题得证。

利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。

一、运用基本不等式来证明 ①求证：lg8·lg12＜1

证明：∵lg8＞0，lg12＞0，

而 lg96＜lg100=2 ∴lg8·lg12＜1.

说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。

说明：本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。

解：

∵a2b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立） 同理a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时，等号成立） b2＋c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立）

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（当且仅当a=b=c时，等号成立） ∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，

说明：此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。 二、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的

证明：

说明：本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

证明：

本题说明采用了分别把各项的分母换成最大的2m或最小的m＋1的技巧。 ③求证：

证明：

本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。

④求证：

证明：

本题说明，此题采用了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。 ⑤若a、b、c为不全相等的非实数 求证：

证明：

∵a、c、b不全为零，上述三式不能全取等号， 相加得

说明：本题考虑到是齐次对称式，应用不舍弃非负项缩小的技巧。 ⑥求证：

证明：

当a＋b=0时，不等式显然成立。

当a＋b≠0时，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，

即：左边≤右边.

说明：本题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。 三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用

证明：当n=k+1时，则得

本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。