浅谈放缩法在不等式证明中的应用(2)

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35

1

)?2n?1. 2n?1

法2 利用贝努利不等式

(1?x)n?1?nx(n?N?,n?2,x??1,x?0)的一个特例

(1?

1)得 121(此处

n?2,x?)?1?2?

2k?12k?12k?1

1?

nn12k?112k?1

???(1?)???2n?1.

k?12k?12k?12k?1k?12k?1

注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：

证明(1?1)(1?

111

)(1?)?(1?)?3n?1.(可考虑用贝努利不等式n?3的特例) 473n?2

1?2x?3x???(n?1)x?a?nx

例10 已知函数f(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2.

n

求证：

f(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。（90年全国卷压轴题）

简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式

n

n

n

[?(aibi)]??a

2

i?1

i?1

2

i

?b

i?1

2i

的简捷证法：

f(2x)?2f(x)?lg

1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x1?2x?3x???(n?1)x?a?nx

?2lg

nn

?[1?2x?3x???(n?1)x?a?nx]2?n?[1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x]

而由Cauchy不等式得(1?1?1?2

x

?1?3x???1?(n?1)x?a?nx)2

?(12???12)?[1?22x?32x???(n?1)2x?a2?n2x](x?0时取等号)

?

n?[1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x]（?0?a?1），得证！

例11 已知a1?1,an?1?(1?

11

)a?.(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；(II)对n2n

n?n2

（05年辽宁卷第22题） ln(1?x)?x对x?0都成立，证明an?e2（无理数e?2.71828?）解析 (II)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1?x)?x（x

?0）的结构特征，可得放缩思路：

an?1?(1?

1111

?)a?lna?ln(1??)?lnan? nn?1

n2?n2nn2?n2n

1111

?lnan?2?n。于是lnan?1?lnan?2?n，

n?n2n?n2

n?1i?1

?

即lnan

(lnai?1?lnai)??

i?1

n?1

1

1?()n?1

111112(2?i)?lnan?lna1?1???2??n?2.

nn2i?i2

1?2

?lna1?2?an?e2.

?0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的

注：题目所给条件ln(1?x)?x（x作用；当然，本题还可用结论2n

?n(n?1)(n?2)来放缩：

111

)(an?1)? )an??an?1?1?(1?

n(n?1)n(n?1)n(n?1)

11

ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?)?.

n(n?1)n(n?1)an?1?(1?

??[ln(ai?1?1)?ln(ai?1)]??

i?2

i?2

n?1

n?1

11

?ln(an?1)?ln(a2?1)?1??1，

i(i?1)n

即ln(an

?1)?1?ln3?an?3e?1?e2.

1111

?????[log2n],n?N?,n?2.[log2n]表示不超过log2n 的最23n2

例12 已知不等式

大整数。设正数数列{an}满足：a1

?b(b?0),an?

nan?1

,n?2.

n?an?1

求证an?

2b

,n?3.（05年湖北卷第（22）题）

2?b[log2n]

简析 当n

?2时an?nan?1?1?n?an?1?1?1，即

n?an?1anan?1an?1n

nn

111111

)??. ????(?

akak?1anan?1nk?2k?2k

于是当n

?3时有1?1?1[log2n]?an?

an

a1

2

2b

.

2?b[log2n]

篇二：放缩法在不等式证明中的应用

放

缩

法

在

不

等

式

证

明

中

的

应

用

摘要

放缩法是不等式证明中一种很精细、很巧妙的证明方法，但是，如何快速、有效地进行放缩这是我们数学学习者必须要掌握的内容，以及如何灵活、适度地进行这是我们研究学习的重难点.

关键词：放缩法;不等式 ;证明 ;方式 ;目标 ;适度

Abstract

Scaling law is the inequalities in a very sophisticated and very clever that way, but how quickly, efficiently scaling this is our mathematics learners have to master the content, and how flexible, appropriate manner that is The weight of learning difficulties.

Key words: Scaling law;Inequality;Prove;Manner;Target;Moderation

目 录

第一章 引言···························1页

第二章 不等式的基本性质及其应用·················2页

2.1 不等式的传递性 ·····················2页

2.2 利用绝对值不等式的性质 ·················2页

2.3 利用均值不等式的性质 ··················3页

第三章 放缩法在不等式中的应用··················4页

3.1放缩的基本类型 ·····················4页

3.1.1舍添一些恒正或恒负的项 ···············4页

3.1.2 适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小·······4页

3.1.3 利用基本不等式···················5页

3.1.4 利用函数的单调性··················5页

3.1.5 利用二项式定理进行适度地放缩············6页

3.2 放缩的目的 ·······················6页

3.2.1有利于约分 ·····················6页

3.2.2 有利于差分·····················7页

3.2.3 有利于消元·····················7页

3.2.4 有利于运用公式···················8页

第四章 如何进行适当地放缩····················9页

第五章 总结·························· 11页 参考文献 ··························· 12页 致谢 …… 此处隐藏：736字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……