浅谈放缩法在不等式证明中的应用

篇一：《放缩法在不等式的应用》论文

放缩法在不等式的应用

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一. “添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a－b＝a－b，求证1＜a＋b＜

3

3

2

2

2

2

2

2

2

4。 证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b，于是（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又

ab＜

1（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b），即3（a＋b）＜a＋b，所以a＋b＜42

2

2

2

，

故有1＜a＋b＜

。

例2. 已知a、b、c不全为零，求证：

a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）

2

22

a?ab?b?（a?b）?b2＞（a?b）?a?≥a?，同理

22

证明：因为

b?bc?c2＞b?c，c?ac?a2＞c?。 2

a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a＞3（a?b?c）

2

所以

二. 分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜

a＋b＋c＜2

。

a?ca?b

证明：由于a、b、c为正数，所以

b＞＞＞，

所以

a＋b＋c＞abc＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，a＜2aa为真分数，

则

b?ca?b?c，同理

故b+c＞a，则

b＜2bc＜2c

，

a?ca?b?ca?ba?b?c

故

a＋b＋c＜＋＋?2.

a＋b＋c＜2

。

a?ca?b

综合得1＜

三. 裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例4. 已知n∈N*，求1?

12

?

1???

1n

＜2n。

证明：因为

1n

?

2n?n

＜

2n?n?1

?2（n?n?1），则1?

12

?

13

?

??

，证毕。

1n

＜1?2（?1）?2（3?2）???2（n?n?1）?2n?1＜2n

n(n?1)(n?1)2

例5. 已知n?N且an??2?2?3???n(n?1)，求证：对?an?

22

*

所有正整数n都成立。

证明：因为

n(n?1)?n2?n，所以an?1?2???n?

n(n?1)， 2

又

n(n?1)?

n(n?1)

， 2

n(n?1)351?22?32n?1(n?1)2

??????????所以an?，综合知结论成立。 2222222

例6 设数列{an}满足a1?2,an?1?an?

1

(n?1,2,?). （Ⅰ）证明an?2n?1对一切正整数an

（Ⅱ）令bn?n成立；题）

ann

(n?1,2,?)，判定bn与bn?1的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）

简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）a2k?1

2

?ak?2?

1

?2k?1?2?2(k?1)?1； 2ak

法2 a

2

n?1

2?an?2?

1222

?a?a?2,k?1,2,?,n?1. ?a?2k?1kn2

an

则an

2

2

?a12?2(n?1)?an?2n?2?2n?1?an?2n?1.

四. 利用重要不等式放缩 1.均值不等式

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

2

n(n?1)(n?1)例7 设Sn??2?2?3???n(n?1).求证?Sn?. 22

解析此数列的通项为ak

?k(k?1),k?1,2,?,n.

n

1k?k?11，n

?k?(k?1)??k???k?Sn??(k?)，

222k?1k?1

2

n(n?1)n(n?1)n(n?1)即?Sn???. 2222

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式?a?b，若放成

2

2

(n?1)(n?3)(n?1)，就放过“度”了！ (k?1)?k?1则得Sn??(k?1)??

22k?1

n

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

a???an

?a1?an?1?

11n???a1an

n

2

a12???an

n

其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

11???1，试证：对每一个n?N，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.ab

例8已知a,b为正数，且（88年全国联赛题） 简析 由

1111ab

??1得ab?a?b，又(a?b)(?)?2???4，故ababba

0n1n?1rn?rrnn

ab?a?b?4，而(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb，

1n?1rn?rrn?1

f(n)?(a?b)n?an?bn，则f(n)=Cnab???Cnab???Cnabn?1，i

n?i

，倒序相加得?Cn

令

因为Cn

1rn?1

2f(n)=Cn(an?1b?abn?1)???Cn(an?rbr?arbn?r)???Cn(abn?1?an?1b)，

n

2

而a

n?1

b?ab

n?1

???a

n?r

b?ab

rrn?r

???ab

n?1

?ab?2ab?2?4?2n?1，则

n?1nn

1rn?1

2f(n)=(Cn???Cn???Cn)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2)(arbn?r?an?rbr)

?(2n?2)?2n?1，所以f(n)?(2n?2)?2n，即对每一个n?N?，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.

2．利用有用结论

例9 求证(1?1)(1?)(1?)?(1?

13151

)?2n?1. 2n?1

简析 本题可以利用的有用结论主要有：

法1 利用假分数的一个性质b?b?m(b?a?0,m?0)可得

aa?m

2462n3572n?11352n?1????????????(2n?1) 1352n?12462n2462n

2n?1

?(2?4?6?2n)2?2n?1即(1?1)(1?1)(1?1)?(1? …… 此处隐藏：972字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……