高一数学必修四向量复习(2)

2a-3=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)

?|2a?3b|?

?e??2a?3b???, |2a?3b|55法二：令e=(x，y)

∵2a-3b=(1,2)，且e与2a-3b平行

∴x-2y=0，①又∵x2+y2=1②

由①②解得e??, 55

[变式练习]已知b是a=(-3,4)垂直，且|b|=15，求b

答案：(12,9)或(-12，-9)

例2. 已知|a|=1，|b|=1，a与b的夹角为60°，x=2a-b，y=3b-a，则x与y的夹角是多少？

[点拨]要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|，x·y的值，可利用|x|2=x2求解。

[解析]由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60°，得a?b?|a|?|b|cos??1 2

1?|x|2?x2?(2a?b)2?4a2?4a?b?b2?4?4??1?3 2

1|y|2?y2?(3b?a)2?9b2?6a?b?a2?9?6??1?7 2

3x?y?(2a?b)?(3b?a)?7a?b?2a2?3b2??

2

3又?x?y?|x|?|y|cos?，即

-? 2

?cos???????arccos1414

[点评]①本题利用模的性质|a|2=a2

②在计算x，y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得： ????????????如图所示，设AB?b,AC?a，AD=2A，?bac=60?。由向量减法的几何意义，得????????????

????BD?AD?AB?2a?b。由余弦定理易得|BD|[变式练习1](2004年高考浙江卷)已知平面上三点A、B、C满足????????????????????????????????????(答案：-25) |AB|?3,|BC|?4,|CA|?5,则AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于_____。

???1)) [变式练习2]

已知|a|?b|?2，a和b的夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时λ的取值范围。(

答案：??

例3. 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1)，B(3,4)，C(-1,2)，BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长。 ????剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分AC所成的比即可。

????ADAB|BC|??D分AC所成的比

?=== 解：?DCBC2

?4?(?1)??9??xD???由定比分点坐标公式，得? ??yD?????2

∴D

点坐标为(9?

?|BD|??

评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化。

当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

①利用向量平行或垂直的充要条件，

②利用向量数量积的公式和性质

例4 已知平面向量a?b?((1)若存在实数k和t，便得x=a+(t

2-3)b,y=-ka+tb同，且x⊥y，试求函数的关系式k=f(t)；

(2)

根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区间。 1 2

[解析](1)法一：由题意知x?

1y?(

t?

k),又x?y

21故x?y?(t

?k)?0 2133整理得：t3

-3t-4k=0，即k?t?t 44

1法二：?a??1),b?(,?|a|?2,|b|?1且a?b 22

133∵x⊥y,∴x·y=0，即-k|a|2+t(t2-3)|b|2=0，∴t3-3t-4k=0，即k?t?t 44

133323(2)由(1)知：k?f(t)?t?t?k'?f'(t)?t?. 4444

令k'<0得-1<t<1；令k'>0得t<-1或t>1

故k=f(t)的单调递减区间是(-1,1)，单调递增区是(-∞，-1)和(1，+∞).

[点评]第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。

??1[变式练习1]

已知平面向量a??1),b?(，若存在不为零的实数k和角α，使向2????????量c?a?(sin??3)b,d??ka?(sin?)b，且c?d，试求实数k的取值范围。

?1?(答案：??,0???0,1?) ?2???23[变式练习2]已知向量a?(x,x?4)，向量b=(x,x),x?[-4,2] 2??????(1)试用x表示a?b；(2)求a?b的最大值，并求此时a?b夹角的大小。

??323(答案：(1)a?b?x?x?6x，(2)最大值为10，此时x=-2

，??arccos) 210

例5 已知a?(cos?,sin?,b?(cos?,sin?)(0??????)

(1)求证：a+b与a-b互相垂直；

(2)若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R，且k≠0，)求β-α

(1)证法一：?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)

?a?b?(cos??cos?,sin??sin?),a?b?(cos??cos?,sin??sin?)

?(a?b)?(a?b)?(cos??cos?,sin??sin?)?(cos??cos?,sin??sin?)

?cos??cos??sin??sin??0

∴(a+b)⊥(a-b)

证法二：?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?) 2222

?(a?b)?(a?b)?a2?b2?|a|2?|b|2?0

∵|a|=1,|b|=1

∴(a+b)⊥(a-b)

|a|?1,|b|?1 证法三：?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),?????????????????记OA?a,OB?b，则|OA|=|OB|=1

又α≠β，∴O、A、B三点不共线。

由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中????????OC?a?b,BA?a?b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)

2222(2)解：由已知得|ka+b|与|a-kb| 又?|ka?b|?(kcos??cos?)?(ksin??sin?)?k?1?2kcos(???)

|ka?b|2?(cos??kcos?)2?(sin??ksin?)2?k2??2kcos(???)

?2kcos(???)??2kcos(???)

又∵k≠0,∴cos(β-α)=0

∵0<α<β<π ∴0<β-α<π?????? 2

点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。

例6. (2002年全国高考新课程卷)已知两点M(-1,0)，N(1，0)，且点P使??????????????????????????MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列。

(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线？ ????????(Ⅱ)若点P坐标为(x0，y0)，记θ为PM与PN的夹角，求tanθ

[分析]本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体，既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。