高一数学必修四向量复习

篇一：高中数学必修四向量知识点

向量知识点总结

一、向量的概念

（1）向量：既有大小，又有方向的量； （2）数量：只有大小，没有方向的量；

（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； （4）零向量：长度为0的向量；

（5）单位向量：长度等于1个单位的向量； （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行； （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。 二、向量加法运算

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b． ⑷运算性质：

①交换律：a?b?b?a；②结合律：a?b?c?a?b?c； ③a?0?0?a?a。

⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2y,1?y三、向量减法运算

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量； ⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2y,1?y设?、?两点的坐标分别为

22

????

C a

?。

?

b

?

?，

a?b??C?????C

?x1,y1?

，

?x2,y2?

，则

????x1

x?,2y1

。y2 ??

四、向量数乘运算

⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a； ①

?a??a；

②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当

??0时，?a?0；

⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b； ⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?；

1

??

五、向量共线定理

向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a；

??

bb?0设a??x1,y1?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、b??x2,y2?，

共线；

六、平面向量基本定理

??

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 七、分点坐标公式

设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，点?的坐标是?

?x1??x2y1??y2?

,?； 1????1??

八、平面向量的数量积

⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0；

??

a?b?ab；⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，

2

当a与b反向时，a?b?

?ab；a?a?a?a或a?

2

a?b?ab；

⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c； ⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2，

22

若

a??x,y?，则a?x?y，或a?

2

????

??

设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0；

设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b?

?x2,y2?，?是a与b的夹角，则

cos??

a?bab

?

2

篇二：高一数学必修4_向量复习讲义[整理]

数学必修4平面向量

一、基本概念：

1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．

?

????a

2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量a共线的单位向量a0??

a

????

3. 平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则a//b；规定零向量与任一向量平行 ????

4、向量相等：a?b? 模相等，方向相同；相反向量：a??b?模相等，方向相反 ?????

5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；?AOB叫做a与b的夹角。

6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若a?xi?yj，则?x,y?叫做

????

a的坐标。7.向量a在b方向上的投影：设?为a、b的夹角，则acos?为a在b方向上

??

?

的投影

二、基本运算：

三、基本定理、公式：

???

1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对

实数?1、?2；使得a??1e1??2e2。

?

2、向量的模：a＝co?s?

?

＝

x?y

22

??

；非零向量a与b的夹角：

a?b?

x1x2?y1y2x1?y1

2

2

x2?y2

22

?

x1y2?x2y1；向量垂直：a⊥

??

3、向量平行：a∥b

?a??b?

?

b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

四、基础训练

??

（1

）已知?2?3，且a?b?4，则向量b在向量a上的投影为

（2）已知A（3，y），B（?5，2），C（6，?9）三点共线，则y=_________.

?????????

（3）非零向量a和b满足：|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角等于. 五、典例讲解.

??????????????

例1. 已知AB?a?(1,2)，BC?b?(?3,2)，CD?(6,4)（1）证明：A,B,D三点共

????????

线.（2）k为何值时，① 向量ka?b与a?3b平行 ② 向量ka?b与a?3b垂直

????????????

（1，7），OB?（5，1），OP?（2，1）例2、平面内有向量OA?，点Q为直线OP上一

????????

动点，1）求QA?QB取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求

cos?AQB的值。

????

例3. 已知向量a?(sin?,1)，b?(1,cos?)，??(?,)

22

??????

（1）若a?b 求?的值。 （2）求a?b的最小值.（3）求函数y?f(?)=a·b的单调

增区间

六、巩固练习

1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且AP=?PB，x和?的值分别为( ) A．-7，2 B．5，2 C．-7，

25

???

???

D．5，

25

2、向量a，b

?6

?10? 3

、已知

?6，

?8

??10??． 4、已知a?e1+e2，b?２e1－e2，则向量a+2b与2a－b（ ） A、一定共线 B、一定不共线 C、仅当e1与e2共线时共线D、仅当e1=e2时共线 5、已知?ABC顶点A（―1，?为__________

????????

6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且PA?2OP，又P是线段

12

12

），B（2，3）及重心坐标G（1，），则顶点C的坐标

OB的中点，则点B的坐标是7、已知|a|=|b|，a?b，且（a+b）?（ka-b），则k的值是( ) A．1B．-1 C．0D．-2

?????

8、已知a?(1,2),b?(1,1)，且a与a??b的夹角为锐角，则实数?的取值范围

为_____________________

9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,P为一动点，及OP?OA?tAB， （1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

?

?

?

?

???

?

????

10、已知a?1，b?2，且a与b的夹角?为600

?????

2

（1）求a?b，(a?2b)，a?3b

???

（2）证明：a?b与a垂直

?

?

11、已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）

?

…… 此处隐藏：4183字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……