1.4.1正余弦函数的图像和性质

三角函数sinα=MP α

三角函数线 正弦线MPcosα=OM α

正弦函数 余弦函数tanα=AT α

余弦线OM 正切线ATPT

正切函数y

α-1

O

M

A(1,0)

x

注意： 注意：三角 函数线是有 函数线是有 向线段！ 向线段！

正弦函数、余弦函数的图象2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表

y = sin x , x ∈ [0 , 2π ]

(2) 描点

y1-

0

π

π

-

-

-

-

(3) 连线

1 -

2

3 π 2

2π

x

正弦、 正弦、余弦函数的图象作法: (1) 等分 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。 (2) 作正弦线 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。 问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？By 1

(3) 平移 (4) 连线π3 2π 3 4π 3 5π 3

O1

A O-1

π

2π

x

根据三角函数线画三角函数图象.gsp

终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z

描图： 描图：用光滑曲 线 将这些正弦线 终点连结起来 的终点连结起来

y=sinx x∈[0,2π]f ( x + 2 kπ ) = f ( x ) 利用图象平移

y=sinx x∈R

正弦、 正弦、余弦函数的图象y 1π2

o -1

π2

π

3π 2

2π

x

y=sinx x∈[0,2π] y=sinx x∈R

y1

正弦曲 线π 2π 3π 4π 5π

-4π

-3π

-2π

-π

o-1

6π

x

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质y1P1

p 1/

o1

M1

-1 A

y

(1) 作法： 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线π3π2

-

Q1

-

o-1-

π6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6

2π

x

y

y1Q2

-

-

-

o1

M2 M-1 1

o-1-

π6

π

π2

3

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

π 11 6

2π

x

x

l

正弦、 正弦、余弦函数的图象y1 -4π -3π -2π -π

o-1

π

2π

3π

4π

5π

6π

x

正弦函数的图象 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x∈R2

正弦曲 线π形状完全一样 只是位置不同

y 余弦函数的图象 余弦函数的图象(0,1) 1 -4π -3π -2π -ππ (o ,0) 2 -13π ( 2 ,0)

( 2π ,1) 2π 3π 4π

余弦曲 线5π 6π

π

( π ,-1)

x

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质y1-

(五点作图法)

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点 ( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)11 π 6

π

-

-1

o-1-

π6

π

π2

3

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

2π

π 图象的最低点 (32 , 1 )

x

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)1-

图象的最高点 与x轴的交点x

( 0 ,1 ) (2π ,1)

-1

o-1-

π6

π3

π2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6

π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π , 1)

-

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质例1.画出下列函数的简图(1)y=sinx+1, x∈[0,2π] (2)y=-cosx , x∈[0,2π] 解: (1) 列表xsin x sin x + 10π2

描点作图π03π 2

2π

yy2-

0

1

1 2

1

1

0

0 1

(2)xcos x cos x0π 2

1- 1 1 - 1

y = 1 + sin x, x ∈ [0,2π ] y = cos x, x ∈ [0,2π ]π2

oo

π2

1 -1

0 0

π -1 1

3π 2

ππ

3π 3π 2

2π

0 0

1 -1

y = sin x, x ∈ [0,2π ]

2

2π π 2

xx

y = cosx, x∈[0,2π]

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质练习：(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图(1)y

x

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质 例1 用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y=1+sinx,x∈[0,2π]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π] .

x sinx

0 0

π/2

π

3π/2 2π

1 2

0 1

-1 0

0 1

1+sinx 1y 2 1

y=1+sinx3p 2

π O -1

2π x

p 2

x

0 -1

π/2

π

3π/2 2π

cosx 1 -cosxy 1 O -1

0 0

-1 1

0 0

1 -1

y=-cosx3p 2

p 2

2π x

π

例2 当x∈[0,2π]时，求不等式 cosx>1/2 的解集。y 1 O -1

π 2

π

3π 2

2π

x

1 y = 2

课堂小结 1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因 此，只要记住它们在[0,2π]内的图象形态，就可以 画出正弦曲线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基 本要求，用“五点法”作图是常用的方法. 3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种 数形结合的数学思想.

正弦、 正弦、余弦函数的图象练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 练习：在同一坐标系内， y= sinx,x∈[0, 2π] 和 y= cosx,x∈[ 2 , , ∈ π , ∈π3π ]的简图： 的简图： 的简图 2

xsinx sinx cosx cosx

0

π2

π

0 2

π2 0 -1

π

3π 2π

3π 22π

0 1 1 0 π y 向左平移 个单位长度 2 21

-1 0

0 1

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

π2

o -1

π2

π3π ] 2 2

3π 2

2π

x

y= cosx,x∈[ π , , ∈