实际问题与二次函数教案[1]

实际问题与二次函数

正阳县油坊店乡中心学校 杨西安

教学目标： 1、 2、

初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题。

在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会数形结合的

思想。 3、

通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展数学思

维，激发学生学习热情。

教学重点：用二次函数的知识解决实际问题。 教学难点：建立二次函数数学模型。

教学方法：引导、启发式教学，学生自主学习，合作探索。 教具准备：多媒体课件，实物投影仪。 教学过程：

一、 创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课。

在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。你们的父母中有做

生意的举手示意一下（师清点人数），在外务工的举手示意一下，（好的，谢谢！）。那么我想问一下，务工也好，做生意也好，目的都是干什么？生答：“挣钱”。师：“不仅挣钱而且都想挣更多的钱，一是靠我们辛勤的劳动，二是靠我们的智慧和科学文化知识”。我们班的小红的爸爸是个文盲，他有一个问题想请大家帮帮忙。（引处例1）

二、 试一试，我能行

例1:我们班小红家开了一个商店，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使小红的爸爸获得利润最大？

分析：1、如何确定函数关系式？ 2、每件的利润=售价—进价

总利润=每件的利润×卖出的总件数 3、变量x有范围要求吗？ 解:调整价格包括涨价和降价两种情况

(1)设每件涨价x元，则每件的利润为(60+x-40)元，可卖的商品的件数为(300-10x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有 y=(60+x-40)(300-10x) =-10x2+100x+6000

=-10(x-5)2+6250 (其中0≤x≤30) ∴当x=5时，y最大=6250元

所以在涨价的情况下，每件涨5元即定价为65元/件时利润最大是6250元。

(2)设每件降价x元，则每件的利润为(60-x-40)元，可卖的商品件数为(300+20x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有 y=(60-x-40)(300+20x) =-20x2+100x+6000

=-20(x-2.5)2+6125 (其中0≤x≤20) ∴当x=2.5时， y最大=6125元

所以在降价的情况下，每件降价2.5元即定价为57.5元时，利润最大是6125元。

综合(1) (2)可知，商品的定价为65元时才能使小红的爸爸获得利

润最大。

由此题可知，做生意也是有很大的学问。只靠“勤劳”未必能挣更多

的钱，还是应多学习科学文化知识，因此在座的各位都是聪明，明智的，要珍惜咱们学习的大好时机，将来挣更多的钱，过上更美好的生活。记住：“不好好学习就是一个最大的浪费者。”等卖了货之后，清点了靠自己合法经营赚来最多的钱高高兴兴的锁上门正准备回家时，突然变天要下大雨，小红的爸爸在回家的路上要路过一座危险的拱桥。（引出例2）

三、想一想，我一定行

例2、如图是一个抛物线形的拱桥，正常时拱顶离水面2米，水面宽4米，当下大雨时水面以每小时0.5米的速度上涨，当桥下的水面宽为2米时，桥就有被冲垮的可能，小红的爸爸下午3点从商店出发，此时天正在下大雨,问他最迟在下午几点之前要通过这座拱桥？

分析：用转化的思想引导学生分析怎样去解决问题。要求时间，有速度转化为求距离；要求距离转化为建立二次函数数学模型，解决正常水位与警戒线水位纵坐标的差。 解:以抛物线的顶点为原点建立如图所示的坐标系 由题意可知:A(-2，-2) B(2，-2) 设抛物线的解析式为:y=ax2 ∴ -2=a×22 ∴ a=

12

∴这个二次函数的解析式为： y= x 2

12

1

1当x＝1时，y＝ ， ∴OD＝2 213

则CD＝OC－OD＝2－＝

2

2

所以水面宽由4米上涨到水面宽2米时水面上涨的高度为1.5米此时需时间为1.5÷0.5＝3小时

故小红的爸爸务必在下午6点之前经过这座拱桥。

此题鼓励学生用多种建模的思想去解决，然后让学生上台去展示自己的成果。从中总结出“先想后算，多想少算，反思巧算”。

由于小红的爸爸急忙赶路，回到家已经很累，所以要吃饭引出锅的问题（例3）。

四、我能行，我一定行

例3：小红的爸爸为了赶路，到家之后已经累得精疲力竭，正好此时小红已经放学回到家中，慌忙去为爸爸做点饭吃。此时正在上九年级的小红发现自己家的铁锅的轴截面也成抛物线形

这时锅中的水最深处是5cm，已知锅口的半径是

20cm，锅的高度是10cm，请同学们帮正在做饭的小红算一算锅中水面的面积是多少？

利用上题的经验来解决本体起到一个巩固的作用。

解：如图以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系. 可知A(－20,10)，B（20,10） 设抛物线的解析式为y=ax2 于是有10＝400a

1

∴a＝40

140

∴抛物线的解析式为y=x2

1

当y=5时，5＝ 40x2 x＝±

2

∴此时水面的半径为 2cm ∴锅中水面的面积是π× (10)2＝200πcm2

饭吃完了，本节课也即将结束，茶余饭后我们来谈一谈本节课的收获。

五、通过本节课的学习你有什么收获？

1、二次函数与我们的现实生活密不可分，生活中缺的不是数学，而是缺少发现数学的眼睛。

2、生活中的实际问题怎样去建立数学模型。

3、 运用函数知识解决实际问题，要考虑自变量的取值范围，要检验解的合理性。

4、情感，态度方面的收获。 六、小试牛刀：

某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元，请你帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？

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