华罗庚学校数学教材(六年级下)第06讲 最大与最小问题(2)

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车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装4×15＝60（只）重量为301千克的箱子，这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了.

既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子，那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢？答案是肯定的.事实上，

301×4+236＝1440（千克），

不超过1.5吨，这就是说，第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以，16辆汽车可以一次运完这些箱货物.

问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克，除此别无具体数量的限制，所以我们还应该对于一般情况（上例仅是一种特殊情况）来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子.

首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨，再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过

4×353＝1412（千克）.

因此也不超过1.5吨.这时，12＋3＝15辆车就装完原来前12辆车上全部货物，总重量超过

1.5×12=18（吨）.

而且每辆车载重不超过1.5吨，于是，剩下来装车的箱子总重量

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不足

19.5-18＝1.5（吨），

可以把它们全部装在第16辆车上运走.

三、最短的路线（几何中的最大最小问题）

例9下图，直线l表示一条公路，A、B表示公路同一侧的两个村子，现在要在公路l上修建一个汽车站，问这个汽车站建在哪一点时，A村与B

村到汽车站的距离之和最短？

分析与解答如果A、B两个村子在公路l的两侧，问题就简单了，只要把A、B两点连接起来，与公路l的交点就是建站的地方，因为两点之间，线段最短。

A、B两村在公路l的同侧的情形，我们用“对称”的方法来解决，先求出A点关于l的对称点A＇，连结A＇B与l交点于C点，则C点就是汽车站应建的那个点.

为什么AC＋BC是距离最短呢？我们假设不选C点，而选择C外的一点C＇，显然有

AC＋CB=A＇C＋CB=A＇B，

AC＇+C＇B=A＇C＇+C＇B.

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根据“连接两点的线中直线段最短”，有A＇C＇＋C＇B＞A＇B，所以选择C点能使AC＋CB距离最短.

利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题.

例10设牧马营地在M，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回营地.问：怎样的放牧路程最短？

分析与解答依题意，每一条放牧路线都是一个三角形的三条边，我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线.

根据“对称”原理，设草地的边线是l1，河流的岸线是l2（下图）.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结M1M2，分别交l1、l2于A、B，则路线M→B→A→M就是最短路线，读者可自己证明其路线最短。

几何中的最大与最小问题很多，待学习一些知识后，将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决。

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习

1

2题六1，在前n个自然数中任取9个数，如果其中必有两个数之比不小于，且不大于2，则n的最大值是______。

2，赵师傅要加工某项工程五个相互无关的部件急需的5个零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、7分钟、4分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所需要的总时间最少？这个时间是多少？

3，下图，小明住在甲村，奶奶住在乙村，星期天小明去看奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问：小明

应选择怎样的路线使路程最短？

4.某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输（如图）.在A1点装货，需6个工人；在A2点卸货，需4个工人；在A3点装货，需8个工人；在A4点卸货，需5个工人；在A5点装货需3个工人；在A6点卸货，需4个工人.若每个点固定工人太多，会造成人力浪费，我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车，

有人固定，问最少要安排多少名装卸工人？