华罗庚学校数学教材(六年级下)第06讲 最大与最小问题

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本系列共14讲

第六讲最大与最小问题

.文档贡献者：先看一个简单的问题：

妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？

这个题目，取材于华罗庚教授

1965年发表的《统筹方法平话》.开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图：

从上图中很容易看出，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作。

像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.

在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问

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题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.

一、数、式、方程（组）中的最大最小问题

例1把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？

分析与解答这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考：①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数。

②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加数大于4的数还要继续拆小.

③由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4.④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3.

因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.

对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限

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制条件，对于字母则要根据其特点进行讨论分析.

例2已知p·q-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是____.

分析与解答由p·q-1=x，x为奇数可知，

q·p=x+1是偶数

又因为p、q为质数，所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p=2.为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值：

2×997－1=1993.

方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题.

例3已知关于x的方程5x5x a=+142，当a为某些自然数时，28

方程的根为自然数，则最小自然数a=________。

分析与解答由原方程可得

分析与解答a=由原方程可得15x 1428

15x应为大于142的整数。又x为自然数，8

15x15x要使为整数，则x必须是8的倍数，又要使大于142，且使a88

15x11最小，那么可解＞142。解得x＞75。所以只要取x=80便可得815因为a为自然数，所以

到a的最小自然数值为8。很明显，这个问题的实质是求不定方程a=15x 142的最小自然数解。8

例4求同时满足a+b＋c＝6，2a－b＋c=3，且b≥c≥0的a的最大值及最小值.

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分析既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代数式表示出来，再根据b≥c≥0来求。求b及c可将a＋b＋c＝6，2a-b+c=3看作含b、c

的二元一次方程组。

解得3≤a≤3。2

3

2所以a的最大值是3，最小值是。

二、统筹方法中教学思想方法的初步应用

在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子，统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的.

例55个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值.

分析这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较，就太繁琐了.凭直觉，应该把

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打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解.

解：首先证明要使所用总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置.

假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2≤b≤5），我们将这两个人位置交换，其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打水所费时间与调整前相同，并且前b个人打水所费时间也未受影响，但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之，要使所费时间最省，就要把打水需1分钟的人排在第一位置.

其次，根据同样的道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以，将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费的总时间最省，得出5人排队和打水时间总和的最小值是：

1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1=35（分钟）.

本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想，它使我们思考问题过程简化，更有趣味.

例6一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

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分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.

解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：

4a－b=6a-3b，即a=b.

这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.

再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得

（xa-a）×2＝（2a-a）×15，

化简，得2ax-2a=15a，

即2xa=17a.（a≠0）

所以x=8.5

因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.

注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.

例7在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每 …… 此处隐藏：2806字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……