数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第2章

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

2.1 引 言在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如 何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理 中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不 受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里， 我们只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声 v(n)之和(如图2.1.1所示), 即

x(n)=s(n)+v(n)

(2.1.1)

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 我们的目的是为了得到不含噪声的信号s(n),也称为期望

信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)(如图2.1.2所示),系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n);系 统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表

示为yd(n)=s(n), y(n) = s(n ) 。因此对信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，

也就是说, 信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么，采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到的估 计， 在通信中称为波形估计; 在自动控制中，称为动态估计。

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

s(n)

x(n)

v(n)

图 2.1.1 观测信号的组成

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

x(n) s(n)+ v(n)

h(n)

y(n)

图 2.1.2 信号处理的一般模型

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 假若已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m),要估计当前及以后时刻 ^ 的信号值s(n+N), N≥0,这样的估计问题称为预测问题；若已知 ^ x(n-1), x(n-2), …, x(n-m) ,要估计当前的信号值s(n),称为过滤

或滤波； 根据过去的观测值x(n-1), x(n-2), …, x(n-m),估计过去的信号值s(n-N), N≥1,称为平滑或内插。维纳(Wiener)滤波与卡 尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的

过滤或预测问题, 并以估计的结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最佳准则。

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维 纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理

谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。 维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律(自相关 函数或功率谱密度),得到的结果是封闭公式。采用谱分解的

方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一 维平稳随机信号

。这是由于采用频域设计法所造成的， 因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以 得到滤波器的输出y(n),

y ( n ) x ( n ) h ( n ) h ( m) x ( n m)m 0

n=0, 1, 2, …(2.2.2)

设期望信号为d(n),误差信号e(n)及其均方值E[|e(n)|2]分别为 e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)2 2 2 E[| e(n) | ] E[| d (n) y (n) | ] E d (n) h(m) x(n m) m 0

(2.2.3)

(2.2.4)

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 要使均方误差为最小，须满足

E[| e(n) |2 ] 0 h j

(2.2.5)

这里，hj表示h(j); 同理，可以用aj,bj分别表示a(j),b(j)。由于误 差的均方值是一标量，因此(2.2.5)式是一个标量对复函数的求 导问题， 它等价于

E[| e(n) |2 ] E[| e(n) |2 ] j 0 a j b j记

j=0, 1, 2, … (2.2.6)

j j a j b j

j=0, 1, 2, …

(2.2.7)

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则(2.2.6)式可以写为

j E[| e(n) |2 ] 0将(2.2.8)式展开

(2.2.8)

e(n ) * e* (n ) e(n ) * e* (n ) 2 j E[| e( n ) | ] E e (n) e( n ) je (n ) je( n ) a j b j b j a j

(2.2.9) 又根据(2.2.1)~(2.2.3)式

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 e( n ) x(n j ) a j e( n ) jx( n j ) b j e* ( n ) x* (n j ) a j e* ( n ) jx* ( n j ) b j

将(2.2.10)~(2.2.13)式代入(2.2.9)式， 得

j E[| e(n) |2 ] 2E[ x* (n j)e(n)](2.2.14)

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 因此 E[x*(n-j)e(n)]=0 j=0, 1, 2, … (2.2.15)

上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一 进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。它

的重要意义在于提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 下面计算输出信号与误差信号的互相关函数

E[ y (n )e (n )] E[ h( j ) x(n j )e* (n )]* j 0

h( j ) E[ x(n j )e* (n )]j 0

(2.2.16)

假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n) 的误差为eopt(n),把(2.2.15)式代入上式，得到* E[ yopt (n)eopt (n)] 0

(2.2.17)

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

d(n) eo pt(n)

yo pt(n)

图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时， 估计值加上估计偏差等于期望信号， 即

d (n)

yopt (n) eopt (n)注意我们所研究的是随机信号，图2.2.1中各矢量的几何表 示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角 度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值, 应用正交性原

2 2 理,则 d yo p t E[| eopt |2 ] , 因此在滤波器处于最佳状态时，

估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。

第二章讲述了维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波

2.2.2 维纳—霍夫方程将(2.2.15)式展开， 可以得到 * * * E x(n k ) d (n) h (m) x (n m) 0 m 0

将输入信号分配进去， 得到

rdx ( k ) h* (m)rxx (m k )m 0

k=0, 1, 2, …

对上式两边取共轭，利用相关函数的性质: ryx(-k)=r*xy(k), …… 此处隐藏：2475字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……