培优专题4_用十字相乘法把二次三项式分解因式(含答案)

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

x

2

(a b)x ab x a x b 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的

两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax bx c（a、b、c都是整数，且a 0）来说，如果存在四个整数

a1，c1，a2，c2满足a1a2 a，c1c2 c，并且a1c2 a2c1 b，那么二次三项式

2

ax

2

bx c即a1a2x

2

a1c2 a2c1 x c1c2可以分解为 a1x c1 a2x c2 。这里要确

定四个常数a1，c1，a2，c2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：x 11x 24 0，求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解： x 11x 24 0

x 3 x 8 0

2

2

x 3 0 x 8 0

或

x 3 0 x 8 0

x 8或x 3

例2. 如果x x mx 2mx 2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x分成x x，而对于常数项-2，可能分解成 1 2，或者分解成

4

2

2

4

3

2

2 1，由此分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为 x ax 1 x bx 2 ，其中a、b为整数，去括号，得：

2

2

x a b x x 2a b x 2

432

将它与原式的各项系数进行对比，得： a b 1，m 1，2a b 2m 解得：a 1，b 0，m 1 此时，原式 x 2 x x 1

2

2

（2）设原式分解为 x cx 2 x dx 1 ，其中c、d为整数，去括号，得：

2

2

x c d x x c 2d x 2 将它与原式的各项系数进行对比，得： c d 1，m 1，c 2d 2m 解得：c 0，d 1，m 1 此时，原式 x 2 x x 1

2

2

432

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

x y x

2

2xy y

2

2 0，求长方形的面积。

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解： x y x 2xy y 2 0

x

2

2

2

2xy y

2

2

x

y 2 0

(x y) x y 2 0

x y 2 x y 1 0

x y 2 0或x y 1 0 又 x y 8

x y 2 0 x y 1 0

或

x y 8x y 8

解得：

x 5 y 3

或

x 3.5 y 4.5

634

∴长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用

cm

2

例. 证明：若4x y是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x 10xy 3y是49的倍数。

22

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一：8x 10xy 3y

2

2

2x 3y 4x y

2 2x 3y 4x 6y 4x y 7y

∵4x y是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） ∴2 2x 3y 是7的倍数

而2与7互质，因此，2x 3y是7的倍数，所以8x 10xy 3y是49的倍数。 证明二：∵4x y是7的倍数，设4x y 7m（m是整数） 则y 4x 7m 又∵8x 10xy 3y

2

2

2

2

2x 3y 4x y

2x 12x 21m 4x 4x 7m 7m 14x 21m 49m 2x 3m ∵x，m是整数，∴m 2x 3m 也是整数 所以，8x 10xy 3y是49的倍数。

4、中考点拨

例1.把4xy 5xy 9y分解因式的结果是________________。 解：4xy 5xy 9y

y

24

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

y2

y

2

4x 5x 9

4x 9 x 1

x 1 2x 3 2x 3

4

2

2

2

2

说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2.

因式分解：6x 7x 5 _______________ 解：6x 7x 5 2x 1 3x 5

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

5、题型展示

例1. 若x y mx 5y 6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1

B. -1

C. 1

D. 2

2

2

2

2

解：x y mx 5y 6 x y x y mx 5y 6 -6可分解成 2 3或 3 2，因此，存在两种情况：

（1）x+ （ 2 ）x+ -3

22

x-y 3 -y x 2

由（1）可得：m 1，由（1）可得：m 1 故选择C。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 a c 4 b a c b 。 求证：a b b c

证明： a c 4 b a c b

a c 4 b a c b 0

a 2ac c 4bc 4ac 4ab 4b 0

2

2

2

2

2

2

a c 4b a c 4b 0 a c 2b 0 a c 2b 0 a b b c

2

2

2

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3. 若x 5x 7x a有一因式x 1。求a，并将原式因式分解。 解： x 5x 7x a有一因式x 1

∴当x 1 0，即x 1时，x 5x 7x a 0 a 3

x

332

3

2

3

2

3

2

5x x

2

7x 3 4x

2

x

2

4x 3x 3

x

x 1 4x x 1 3 x 1

2

x 1 x 4x 3

x 1 x 1 x 3 x 1

2

x 3

说明：由条件知，x 1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是

x 1，分解时尽量出现x 1，从而分解彻底。

【实战模拟】 1. 分解因式：

（1）ab 16ab 39 （2）15x

（3） x 3x 22 x 3x 72

2

2

2

2

2

2n

7xy

nn 1

4y

2n 2

2. 在多项式x 1，x 2，x 3，x 2x 3，x 2x 1，x 2x 3，哪些是多项式 x 2x 10 x 2x 9的因式？

2

2

4

2

2

2

2

3. 已知多项式2x x 13x k有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

4. 分解因式：3x 5xy 2y x 9y 4

5. 已知：x y 0.5，x 3y 1.2，求3x 12xy 9y的值。

2

2

2

2

32

【试题答案】

1.

（1）解：原式 ab 16ab 39 ab 3 ab 13 （2）解：原式 3x y

n2

n 1

2

5x

n

4y

n 1

（3）解：原式 x 3x 4 x 3x 18 x 4 x 1 x 6 x 3

2

2.

解： x 2x 10 x 2x 9

2

2

4

2

x

2