《组合数学》测试题含答案(3)

每种都可以独立地选择0或1，于是有2×2×2×2=24=16种至多4位数字的2进制数，

它们分别是{0，1，10，11，100，101，111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111}

4、 从5个字母中选取4个组成的字符串共有p(5,4)=5×4×3×2=120种。如果允许字母重

复出现，则长度为3的字符串共有5×5×5=125种。

5、 可以这样考虑：在9个数字中不重复地选取7个作排列共有P 9,7 种，其中出现5和6相邻的排列数共有2 6 P 7,5 种，因为出现5和6相邻的排列可看成是从1，2，3，4，7，8，9七个数中选5个排列后，将56或65插入到这5个数的6个间隔位置上（数前、数后及两个数字之间的间隔共6个位置），所以包含相邻的5和6的7位数共有

。 2 6 P 7,5 ，于是所求数的个数为P 9,7 2 6 P 7,5 151200

6、 因为任3点均不共线，所以25个点中每两个点组成一条直线，每3个点了构成一个三

角形，所以共有C 25,2 300条直线和C 25,3 2300个三角形。

7、 因为所求的数为偶数，所以个位只有2种选择：2或4。因为4位数字全不相同，所以

乘余3位数只能是1，2，3，4，5中去掉用于个位数的数字之后的4个数字的3排列，可是共有2×P(4,3)=24个这样的数。

3 5 7 11，所以共有 4 1 2 1 3 1 1 1 1 119个不同8、 因为7715785

的正因子

4

2

3

9、因为在1到50中共有10个数含有因子5而这10个数中又有2个包含有因子25。因此50！中含有10+2=12个5因子，显然50！中至少含有12个因子2，因为在1到50这50个数中有25个是偶数所以50！中含有12个因子10，即50！在结尾处有12个0。 10、符合条件的数可分成以下几类： （1）8位数：共有7×P（7，7）=35280个 （2）7位数：共有7×P（7，6）=35280个 （3）6位数：共有7×P（7，5）=17640个 （4）5位数：共有7×P（7，4）=5880个 （5）4位数：8位数>5的有3×P（7，3）=630个 8位数=5，百位数>4的有4×P（6，2）=120个 8位数=5，百位数=4的有P（6，2）=30个 所以符合条件的数共有94860个 11. 3761 =5·6!+5!+4!+2·3!+2!+1

12. 因为和(p)=(3214)对应的中介数是（021），所以（p）的序号为m=0·3!+2·2!+1=5,即(p)是第5个排列

13. 因为117=4·4!+3·3!+2!+1，则中介数为（4311），所以序号为117的5个文字的全排列为54231。

14. 因为a1=0,所以2在1的右边，a2=2，所以3在1和2的左边,a3=1，所以4在2的前面且在3和1的后面，因此所对应的排列为3142。 15. 123，132，213，231，312，321

16. 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3214 3241 3421 4321

17. 排列4231的下一个排列是4213。

18. 因为5件工作中的每一件工作都可由4个人中的任一人完成，因此每件工作有4种分配方法，所以总共有4×4×4×4×4=1024种完成任务的方案。 19. 因为没有限制一个同学可得纪念章和纪念册的个数，所以将4枚纪念章分给十个同学的方法有C（10+4-1,4）=C(13,4),将6本纪念册分给十个同学的方法有C（10+6-1，6）=C（15，6），所以若有C（13，4）、C（15，6）种方案。

20. 如果限制每人得1件物品，则共有10！/（4！6！）12，13，14，15，16，23，24，25， 26，34，35，36，45，46，56

21. 因为n边形的每个顶点有n-3条对角线，要使另一边也是对角线，则选中的两条对角线不能相邻，于是相当于在n-4条对角线中选2条对角线作三角形的两边，另一条边即为此二对角线顶点的连线。所以共有C(n-4,2)个这样的三角形，有n个顶点，共有n·c(n-4,2)个三角形。但这里有重复，因为每一个满足条件的三角形在三个顶点处重复了3次，所以真正不同的三角形只有n·c(n-4,2)/3.例如，6边形中可以找出6·c(2,2)/3=2个这样的三角形。

22. 共有C（3+6-1,6）=C(8,6)=C(8,2)=28项。

23. 因为可以在{1,2, ,18}中任取3个的组合同在{1,2, ,20}中任取3个没有相邻的数组成的集合之间建立起一一对应关系,所以答案是C(18,3)=816

24. {c,c,c},{b,c,c},{a,c,c},{a,b,c},{a,a,c},{a,a,b}，共6个3组合， {a,c ,c,c},{b,c,c,c},{a,b,c,c},{a,a,c,c},{a,a,b,c}共5个4组合。 25. F1 = 1, F 5 = 5

26. 因为能被4整除的有10000/4=2500，能被5整除的有1000/5=2000，能被6整除的有10000/6=1666，能同时被4，5整除的有10000/20=500，能同时被4，6整除的有10000/24=416，能同时被5，6整除的有10000/30=333，能同时被4，5，6整除的有10000/120=83，所以符合要求的有10000-（2500+2000+1666）+（500+416+333）-83=5000（个） 27. 因为k=2C(k,2)+C(k,1)=2×k(k－1)/2+k= k

2

2

所以1+2+ +n=2(C(1,2)+C(2,2)+ +C(n,2))+C(1,1)+C(2,1)+ +C(n,1)

222

=2×C(n+1,3)+C(n+1,2)

=2×(n+1)n(n－1)/(3×2)+(n+1)n/2

=n(n+1)(2n+1)/6

28. N=C(7+5,7)=C(7+5,5)=C(12,5)=792

一般情况 N=C(m+n,n)

29. N=(1+5)(1+2)(1+3)(1+4)=360

4822052105481020

30. 令x=y, 则x=y, x=y,于是（1+y+y）中y项的系数N即为(1+x+x)中x项的系

5222

数，而y=y y·y·y·y=y·y·y·y=y·y·y，于是

N=C(10,5)+c(10,3)c(7,1)+c(10,1) ·c(9,2)=1326

31 S3={(1)(2)(3),(23),(12),(13),(123),(132)}

3

(1)(2)(3)的格式是(1)

12

(23),(12),(13)的格式是(1)(2)

1

(123),(132)的格式是(3)

32 因为bk=vr , r(k-1)=λ(v-1),已知 b=14,k=3,λ=2

所以×3=vr

即时求得33. 39=4!+2 3!+2!+1!=24+12+2+1 34. N=7!=5040

n-1

35. 因为C(n,1)+2C(n,2)+ +nC(n,n)=n 2

10-1

所以C(10,1)+2C(10,2)+ +10C(10,10)=10 2=5120

36.

1 2 3 4 5 6 7234567 1

345671 3456712 5

567123 和 7

2671234

712345 4

123456 6234567

456712 671234

123456 345671 567123

712345

37. N=C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+ +C(2n+1,2)+ +C(2n+1,n)

=2(C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+ +C(2n+1,n))/2

=(C(2n+1,0)+C(2n+1,2n+1)+C(2n+1,1)+C(2n+1,2n)+ +C(2n+1,n)+C(2n+1,n+1))/2

2n+12nn=2/2=2=4 312

38. N=(2+2 2+3 2)/6=4 39. 解：N=2 7！=10080

40304030

40. 解：∵M=gcd(10,20)=2 5,∴N=(40+1)(30+1)=1271

41. 解：N=int(1000/3)-int(1000/15)-int(1000/21)+int(1000/105)=333-66-47+9=229

4

42. 解： ∵ △Sn=Sn+1-Sn=(n+1)

∴可设Sn=A C(n,0)+B C(n,1)+C C(n,2)+D C(n,3)+E C(n,4)+F C(n,5),于是

可知：

A=0 解得：

A+3B+3C+D=98 D=50 A+4B+6C+4D+E=354 E=60 A+5B+10C+10D+5E+F=979 F=24

所以 Sn=C(n,1)+15C(n,2)+50C(n,3)+60C(n,4)+24C(n,5)

2

=(n(n+1)(2n+1)(3n+3n-1))/30

2

43．解：特征函数为x-6x+8=0,x1=2,x …… 此处隐藏：3433字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……