《立体几何初步》测试题及答案

《立体几何初步》测试题

《立体几何初步》测试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）

1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 若a∥b，b c A，则a,c的位置关系是（ ）

A.异面直线 B.相交直线

C.平行直线 D.相交直线或异面直线

3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）

A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形

4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）

A 48 B 64 C 96 D 192

5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8

个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．25 B．50 C．125 D．都不对

32

6. 已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于 （ ）

3

A

B

C

D 333

7. 若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．若 // ,l ,n ，则l//n B．若 ,l ，则l C. 若l ,l// ，则 D．若l n,m n，则l//m

《立体几何初步》测试题

D1

E，F，G，H A8. 如图，在正方体ABCD A1BC11D1中，11分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与 GH所成的角等于（ ） E Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°

A F B 9. 已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0

10. 平面 与平面 平行的条件可以是（ ）

A. 内有无穷多条直线与 平行； B.直线a// ,a//

C.直线a ,直线b ,且a// ,b// D. 内的任何直线都与 平行

C1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11. 直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为 菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD 为 ，面积为______cm2．

长方体的表面爬到C1点的最短距离是 ．

13. 已知直线b//平面 ，平面 //平面 ，则直线b与 的位置关系为 . P

14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿

15. 如图，△ABC是直角三角形， ACB=90 ，PA 平面ABC，此图A 形中有 个直角三角形

16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD； （2）△ACD是等边三角形

（3）AB与平面BCD所成的角为60°；（4）AB与CD所成的角为60°。 其中正确结论的序号为＿＿＿＿

Y'D'A'O'

B'

X'C'

12. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿

三、解答题（本大题共4小题，共60分）

17.（10分）如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥BC

《立体几何初步》测试题

P

A

18.（10分）在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知DA DC 4,DD1 3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值 。.

19. （12分）在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，

1

AB=DC，E为PD中点.

2

(1)求证：AE∥平面PBC； (2)求证：AE⊥平面PDC.

20. （14分）如图，P为 ABC所在平面外一点，PA 平面

ABC， ABC 90 ，AE PB于E，AF PC于F

P

F

求证：（1）BC 平面PAB；

（

2）AE 平面PBC；

A

E

C

B

《立体几何初步》测试题

（3）PC 平面AEF．

21. （14分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AEAF

(0 1). ACADA

E

B

F

D

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

《立体几何初步》测试题参考答案

1-5 DDABB 6-10 DCBCD 11. 矩形 8 12. 52 13. 平行或在平面内；

《立体几何初步》测试题

14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 设棱长是a

a 2r内切球，r内切球

a 2r外接球，r外接球 ,r内切球：r外接球 22

15. 4 16. （1）（2）（4）

17. 证明：过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC ，得AD⊥平面PBC，故

AD⊥BC，

又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB

18. 连接A1D， A1D//B1C, BA1D为异面直线A1B与B1C所成的角. 连接BD，在△A1DB中，A1B A1D 5,BD 42，

A1B2 A1D2 BD225 25 329

则cos BA1D .

2 A1B A1D2 5 525

19.(1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=

1

DC,所以有EM∥AB且EM=AB,2

则四边形ABME是平行四边形.所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.

(2) 因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.

20.证明:(1)∵PA 平面ABC，∴PA BC，∵ ABC 90 ，∴AB BC， 又PA AB A ∴BC 平面PAB.

(2)∵BC 平面PAB且AE 平面PAB，∴BC AE，又∵PB AE，且

BC PB B，∴AE 平面PBC.

(3)∵AE 平面PBC，∴AE PC，又∵AF PC，且AE AF A，∴PC 平面AEF．

21. 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 又 AE AF (0 1),

ACAD

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF 平面BEF,

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

《立体几何初步》测试题

∴BD 2,AB 2tan60 6,

AC

7

2

AC AB2 BC2 7,由AB=AE·AC 得AE 6, AE 6,

故当

6

时，平面BEF⊥平面ACD. 7