第3章：离散时间信号的傅里叶变换

研究生现代信号处理课件

第3章 章 离散时间信号的傅里叶变换

研究生现代信号处理课件

3.1 连续时间信号的傅里叶变换 3.2 离散时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT) 3.3 连续时间信号的抽样 3.4 离散时间周期信号的傅里叶级数 3.5 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 3.6 用DFT计算线性卷积 计算线性卷积 3.7 与DFT有关的几个问题 有关的几个问题 3.8 关于正弦信号抽样的讨论 3.9* 二维傅里叶变换 3.10 希尔伯特变换 3.11 与本章内容有关的 与本章内容有关的MATLAB文件 文件

研究生现代信号处理课件

离散时间信号傅里叶变换(DTFT)的定义 的定义 离散时间信号傅里叶变换当限定z = e jω 时，离散信号的 Z变换变为 傅立叶变换( 如下： 傅立叶变换( DTFT ), 如下： X ( z ) z = e jω = X (e jω)=n = ∞

复变函数 X (e jω ), 关于e jω的幂级数

∑ x ( n)e

∞

jωn

X (e jω )是以2π为周期 X (e jω )是连续信号 e jωn X ( e → e jωn X (e jω ) ) (ejω

变换。 傅立叶变换即限定在 r = z = 1单位圆上的 Z变换。

进行自变量代换： 将离散信号 s变换子集 s = j 进行自变量代换： 进行自变量代换 X ( s ) s = j = X ( j ) = → =ω = Tsn = ∞ j ωn

x (nTs )e j nTs ∑ = X 1 ( jω )

∞

n = ∞

∑ x ( n) e

∞

研究生现代信号处理课件

傅里叶变换(DTFT)的反变换 的反变换 傅里叶变换X (e )=jω

n = ∞

∑ x ( n) ejωm

∞

jωn

两边乘 e jωm , 并在 π ~ π内对ω积分

∫π

π

X (e ) e =∞

jω

dω = ∫ [ ∑ x ( n ) e π n = ∞

π

∞

jωn

]e

jωm

dω =

n = ∞

∑ x (n)∫ πe ω

∞

π

j (m n)

dω

n = ∞

∑ x (n)2πδ (m n) = 2πx (m ) ∫π

x ( n) =

1 2π

π

X (e jω) jωm dω e

研究生现代信号处理课件

DTFT的性质 的性质线性：若 x1 ( n ) → X 1 (e jω ), x 2 ( n ) → X 2 (e jω ),则 线性：

α x1 ( n ) + β x 2 ( n ) → α X 1 ( e j ω ) + β X 2 ( e j ω )时移： 时移：若 x ( n ) → X ( e jω ),则 x ( n n0 ) → e jωn0 X (e jω ) 奇偶虚实对称： 奇偶虚实对称： 为实信号， 若 x ( n )为实信号，则( 1 X R ( e jω ) = X R ( e jω ); ) (3) X * ( e jω ) = X (e jω ); X I ( e jω ) (5) (ω ) = arctan = ( ω ); jω X R (e )

) (2 X I ( e jω ) = X I ( e jω ); (4 X ( e ) = X ( e ) (6) x ( n ) = 1jω jω

);

π

∫

π

0

[ X R ( e jω ) cos( ω n ) X I ( e jω ) sin( ω n ) ]d ωjω ∞

(7 ) x ( n ) 再为偶函数时， X R ( e ) = x ( 0) + 2 ∑ x ( n ) cos( ω n ), X I ( e jω ) = 0; 再为偶函数时，n =1

x ( n) =

π ∫

1

π

0

X R ( e jω ) cos( ω n ) dωjω jω ∞

(8) x ( n ) 再为奇函数时， X R ( e ) = 0; X I ( e ) = 2 ∑ x ( n ) sin ω n; 再为奇函数时，n =1

x ( n) =

π ∫

1

π

0

X I ( e jω ) sin( ω n )d ω

研究生现代信号处理课件

时域卷积定理： 时域卷积定理：若 y ( n) = x ( n) * h( n), 则 Y

(e jω ) = X (e jω ) H (e jω ) 1 频域卷积定理： 频域卷积定理：若 y ( n) = x ( n) h( n), 则 Y (e ) = X (e ) * H (e ) = 2πjω jω jω

∫ π X (e * 2

π

jθ

) H ( e j ( ω θ ) ) d θ

时域相关定理： 时域相关定理：若 y ( m ) =

n = ∞

∑ x (n)h(n + m ) = x ( m ) * h(m ), 则Y (e ω ) = Xj

∞

( e jω ) H ( e jω )

rx ( m ) = x ( m ) * x ( m ), E x (e jω ) = X * (e jω ) X (e jω ) = X (e jω ) 则 能量信号自相关函数的 傅里叶变换是信号傅里 叶变换的模的平方 Parseval (巴塞伐)定理：若 x 巴塞伐)定理：2 2

=

n = ∞

∑

∞

x ( n) =2

1 2π

∫π

π

X ( e jω ) d ω

2

Wiener Khinchin (维纳 辛钦)定理 : 辛钦) Px (e jω ) = Px = 1 2π

m = ∞

∑ r ( m )ex

∞

jω m

= limN →∞

X 2 N ( e jω ) 2N + 1

2

∫π

π

Px (e jω )dω

能量谱、 的实函数， 信息。 能量谱、功率谱始终为 ω的实函数，失去了相位 信息。 能量谱、 义略有不同。 能量谱、功率谱都是自 相关函数的傅里叶变换 ，只是自相关函数的定 义略有不同。

研究生现代信号处理课件

一些典型信号的DTFT 一些典型信号的δ (n) → X (e jω ) = 1, 所有ω幅频响应为1 相频响应为0 , δ ( n m ) → X (e ) =jω n = ∞ ∞

∑ δ ( n m )e

j ωn

= e jωm , 所有ω幅频响应为1 ,

X I ( e jω ) sin(ωm ) ] = ωm 相频响应 (ω)= arctan = arctan[ jω X R (e ) cos(ωm )

e jω0 n = e j 0nTs = e j 0 t → X (e jω ) = 2π 1 x ( n) = 2ππ π

n = ∞ ∞

∑ δ (t nT )s k = ∞

∞

∑ δ (ω ω

0

+ 2πk ), k ∈ Z

∫π

π

2π

k = ∞

δ (ω ω0 + 2πk )e jωn dω ∑

∞

= ∫ δ (ω ω0 )e jωn dω = e jω0 n

研究生现代信号处理课件

sin(ω0 n) jπ cos(ω0 n) π

k = ∞ ∞

∑ [δ (ω + ω0

∞

0

+ 2πk ) δ (ω ω0 + 2πk )], k ∈ Z

k = ∞

∑ [δ (ω + ω

+ 2πk ) + δ (ω ω0 + 2πk )], k ∈ Z

∞ 1 u ( n) + π ∑ δ (ω + 2πk ), k ∈ Z jω 1 e k = ∞

研究生现代信号处理课件

DTFT的物理意义 的物理意义看频率组成、 看频率组成、看频率响应300 200

X (e jω)=

n = ∞

x (n)e jωn ∑

∞

x (n) = a cos(2πf 0 nTs + ) = a cos(ω0 n + )Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001 w0 =0.6283 rad (f0 =20Hz) Aw0 =249.7494 Pw0 =1.2797 w0N =-0.6283 rad(f0=-20Hz) Aw0N = 249.7494 Pw0N = -1.2797 Elapsed time is 7.574711 seconds.

100

0 -5

0

5

10 w/rad

15

20

25

30

300

200

100

0 -200

0

200

400 f/Hz

600

800

1000

的确出现了原信号频率分量。 的确出现了原信号频率分量。 问题: 问题 (1)-f0处出现频率分量 (2) …… 此处隐藏：5475字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……