《立体几何》知识要点及典型题解答案(文科)

《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

1．

1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能

2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 A．

12V

B．V C．

3

114

V

D．

23

V

ABD1 3．设 、 、 为平面， m、n、l为直线，则m 的一个充分条件是

A． , l,m l B． m, , C． , ,m D．n ,n ,m 4．如图1，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中， P、Q是对角 线A1C上的点，若PQ

A36

B3

D

a2

，则三棱锥P BDQ的体积为

D．不确定

3

18

C3

24

5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1Q B

2

32

Q C

2

Q D

3 2

Q

6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如

图），求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H； （3）A1O⊥平面BDF； （4）平面BDF⊥平面AA1C．

7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成45角，求 此三棱柱的侧面积和体积．

8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC．

9．如图6为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.

沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD A1B1C1D1？

S0

10． 如图10，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，

AA1=2a，M、N分别是BB1、DD1的中点． （1）求证：平面A1MC1⊥平面B1NC1；

（2）若在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，

M三棱锥M-A1B1C1的体积为V1，求V1：V的值．

11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB BC，E是A1C的中点，

ED A1C且交AC于D，A1A AB

22

BC (如图11) ．

A Q

B 图6

A1 B11

D1

N

B图 10

D C

BC

C1

A1

（I）证明：B1C1//平面A1BC；

A

B

图11

（II）证明：A1C 平面EDB．

参考答案

1．D 2．B 3．D 4．A 5．D

6．解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及

辅助直线BO’，显然BO’即是．

（2）按线线平行 线面平行 面面平行的思路，

在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线， 转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF．

（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O， 再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线．

猜想A1O⊥OF．借助于正方体棱长及有关线段的关系 计算得：A1O2+OF2=A1F2 A1O⊥OF． （4）∵ CC1⊥平面AC，∴ CC1⊥BD

又BD⊥AC，∴ BD⊥平面AA1C

又BD 平面BDF，∴ 平面BDF⊥平面AA1C 7．解析：在侧面AB’内作BD⊥AA’于D，连结CD．

∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC

∴ ∠CDA=∠BDA=90，BD=CD ∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’

∴ △DBC是斜三棱柱的直截面 在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=

22a

a

2

∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(2+1)a，△DBC的面积=∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab ∴ V=S DBC·AA’=

ab4

2

4

8．解析：取PC和AB的中点M和N

∴ VP ABC VP AMB VC AMB

13

PC S AMB

在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9 ∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6 ∴ S△AMB=

121

×AB×MN=

12

×18×12=108(cm)

2

∴ VP-ABC=×16×108=576(cm3)

3

9．解：它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（如图）．

需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.

S

B

GD D1

C B1

A Q

第九题

B A

第九题

10．解：（1）取CC1的中点P，联结MP、NP、D1P(图18)，

则A1MPD1为平行四边形 ∴ D1P∥A1M，∵A1B1C1D1是边长 为a的正方形，又C1P=a，

∴C1PND1也是正方形，∴C1N⊥D1P．∴C1N⊥A1M． 又 C1B1⊥A1M，∴ A1M⊥平面B1NC1，又A1M 平面A1MC1， ∴平面A1MC1⊥平面B1NC1； （2）V=2a ，VM-A1B1C1=VC-MA1B1=a

3

3

A1 B11

D1

N

MD C

C1

A1 DA

B

图11

112

a

2

16

a，∴ V1：V =

3

112

B图 10

11．证明：（I）证： 三棱柱ABC A1B1C1中B1C1//BC，

又BC 平面A1BC，且B1C1 /平面A1BC，

B1C1//平面A1BC

BC

（II）证： 三棱柱ABC A1B1C1中A1A AB，

22

Rt A1AB中，AB A1B， BC A1B， A1BC是等腰三角形．

E是等腰 A1BC底边A1C的中点，

A1C BE

又依条件知 A1C ED

且ED BE E

①

② ③

由①，②，③得A1C 平面EDB．