1.4条件概率与乘法公式

将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 将一枚硬币连抛两次， P(B) > 0, 记 是两个事件， 设 A, B是两个事件，且

S = {HH,HT,TH,TT} P( AB) P( A | B) = P(B) 记 A = {一次正面一次反面 } = {HT,TH}, 则 称为在事件 B 发生的条件下事件1A发生的条件概率 P( A) = 2 若 P( A) > 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 如果我们已经知道试验结果中“ P( AB) P(B | 现了一次正面”,问此时 现了一次正面”A) = P( A) 两个概率含义不 P( A) = 条件概率 同，值也不相同 为 A发生的条件下 B发生的 记 B = {至少出现一次正面 } = {HH,HT,TH}

由于 B已发生,故“样本空间”变为 已发生, 样本空间” 从而 试验的所有可能结果

S′ = {HH,HT,TH}= B ∩ S

2/ 4 = P( AB) P( A | B) = P( A 3/ 4 P(B) 概率论与数理统计

P( | B)

设 P(B) > 0, 有

对于任一事件 A有

P( A | B) ≥ 0 对于必然事件 S 有 P(S | B) = 1 两两不相容事件列， 设是 {Ak}两两不相容事件列，则有

P( ∪ Ak | B) = ∑ P( Ak | B)

k =1 k =1 ∞ ∞

P( A ∪ A2 B) = P( A B) + P( A2 B) P( A A2 B); 1 1 1

P( A B) = 1 P( A B).

概率论与数理统计

一盒子装有5只产品，其中3只一等品， 例 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A 设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到 第一次取到一等品” 事件B 一 等品”，求条件概率P(B|A)。 等品” 求条件概率P(B|A)。

AB

A S

概率论与数理统计

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 例 某种动物由出生算起活 岁以上的概率为 0.8, 活到 岁以上的概率为 活到25岁以上的概率为 岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物 问它能活到 岁以上的概率是 岁的这种动物, 岁的这种动物 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 多少 表示“ 的事件， 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件 岁以上”的事件, P( AB) P(B A) = . 则有 P( A) 因为 P( A) = 0.8, P(B) = 0.4, P( AB) = P(B), P( AB) 0.4 1 所以 P(B A) = = = . 0.8 2 P( A)

概率论与数理统计

由条件概率

P( AB) P( A | B) = P(B) (P(B) > 0)

乘法定理(乘法公式) 可推得乘法定理(乘法公式)

P( AB) = P( A | B)P(B)

对称地有

P( AB) = P(B | A)P( A) = P( A| B)P(B) (P( A) > 0, P(B) > 0)

概率论与数理统计

推广 : 设 A , A2 , A3为事件 且 P( A A2 ) > 0, 则有 1 , 1 1

P( A A2 A3 ) = P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 ). 1 1 1 1

事实上

由于 ( A ) ≥ P( A A ) > 0, 右侧的条件概率均有意义, P 1 右侧的条件概率均有意义 1 2

且P( A A2 A3 ) = P(( A A2 ) A3 ) = P( A A )P( A A A ) 1 1 1 2 3 1 2

= P( A )P( A A )P( A A A ). 1 2 1 3 1 2

可进一步推广如下: