1.2.2_充要条件_课件(人教A版选修2-1)

第一章 常用逻辑用语1.2.2 充要条件

若p则q(真)1 p q,p是q 的充分件 ) q是p的必要条件

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若q则p(真)2 q p )

q是p的充分条件，p是q的必要条件

课题引入

p:整数a是6的倍数， q:整数a是2和3的倍数. p是q的什么条件？ q又是p的什么条件？

充要条件的含义一般地，如果既有p q, 又有q p, 就记作p q.此时，我们说，p是q的 充分必要条件，简称充要条件. 显然，如果p q, 那么p与q互为充要 条件.

例2 下列各题中，那些p是q的充要条件.

(1)p:b=0, q:f(x)=ax2+bx+c是偶函数； 充要条件 (2)p:x>0,y>0,q:xy>0; 充分非必要条件 (3)p:a>b,q:a+c>b+c; 充要条件

例5 已知：⊙O的半径为r,圆心O 到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与 ⊙O相切的充要条件.【解题回顾】充要条件的证明一般分 两步：证充分性即证A =>B, O

证必要性即证B=>A一定要使题目与证明中的叙述一致

l

P

A

分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明 充分性 p q 和必要性 q p 即可

例5 已知： O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d, 求证：d=r是直线l 与 O相切的充要条件.

证明：如图，作OP l于点P,则OP=d . (1)充分性(p q): 若d=r, 则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P ), 连接OQ. 则OQ OP r . 除点P外直线l上的点都在 O的外部， 即直线l与 O仅有一个公共点P 直线l与 O相切. ( 2)必要性(q p) : 若直线l与 O相切，

不妨设切点为P, 则OP l, d OP r .

探究(三):判断充分条件、必要条件的方法

1、直接用定义判断若 p q ,且 q 要条件； 若 p q ,且 分条件；若

p ,则p是q的充分不必

p q,则p是q的必要不充

p q ,且 p q ,则p是q的充要条件

若p q ,且 q 充分也不必要条件.

p

,则p是q的既不

2、利用命题的四种形式进行判定 (1)p是q的充分不必要条件，原命题为真、逆命题为假；

(2)p是q的必要不充分条件，原命题为假、逆命题为真；

(3)p是q的充要条件，原命题、逆命题都为真；

(4)p是q的既不充分也不必要条件，原命题、逆命题都为假.

3、利用集合的关系判定

设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}

1)若A B且B A,则称p是q的充分不必要条件 2)若A B且B A,则称p是q的必要不充分条件1) B 2) A A B

B且 B 3)若 A A,则称p是q的既不充分也不必要条件

4)若A B且B A,既A=B,则称p是q的充要条件A B A =B

3 )

4 )