麦克斯韦气体速率分布律

复 习理想气体压强公式

p n( mv ) nw2 3 1 2 2 2 3

理想气体的温度 1 3 2 m v kT 2 2 理想气体的能量 分子平均平动动能:

分子平均动能: 理想气体的内能:

i kT 2

3 kT 2

m i i E RT RT M 2 2

大学物理学电子教案气体动理论(二)4-5 麦克斯韦气体速率分布律

4-64-7

玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式(自学)分子平均碰撞次数和平均自由程

4-5 麦克斯韦气体速率分布律平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克

斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实

验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。

麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831——1879) 他提出了有旋电场和位移电流概 念，建立了经典电磁理论，预言 了以光速传播的电磁波的存在。 1873年，他的《电磁学通论》问 世，这是一本划时代巨著，它与 19世纪伟大的英国 牛顿时代的《自然哲学的数学原 物理学家、数学家。 理》并驾齐驱，它是人类探索电 经典电磁理论的奠 磁规律的一个里程碑。 基人，气体动理论 在气体动理论方面，他还提出气 的创始人之一。 体分子按速率分布的统计规律。

一、测定气体分子速率的实验1、实验原理真空室

B S P

G-弯曲玻璃板，可沉积射到上面的各种速

A

G P

分子源

狭缝

率分子。 圆筒不转，分子束的分子都射在P处。

圆筒

圆筒转动，分子束速率不同的分子将射在不同位置D t v

D t v 2D l 2v

D l R 2

2、实验结果

分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； 速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； 在某一速率附近的分子数 的比率最大； 改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。

二、麦克斯韦气体分子速率分布律1、速率分布函数 速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N,dN表示速率分布在 某区间 v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间 内的分子数占总分子数的比率。 实验规律： dN/N 是 v 的函数； 速率区间足够小时, dN/N与区间大小成正比。

dN f (v )dv N

dN f (v ) Ndv

速率分布函数

(2) 物理意义：

速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。

dN f (v )dv N v2 N = f (v)dv N v1

表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率

分布在v1→v2内的 分子数占总分子数的概率

N

0

dN f v dv 1 0 N

归一化条件

(3) 速率分布曲线

0

f (v)dv 1

曲线下的总面积 恒等于1

2、麦克斯韦速率分布律 实验表明：在平衡态下，分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数的比率为

dN m 4 e N 2 kT

3 2

mv 2

2 kT

v dv2 kT

2

m f v 4 e 2 kT 麦克斯韦 速率分布函数

3 2

mv 2

v

2

m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量

三、三种统计速率1、最可几速率vP (1) 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最可几 速率或最概然速率。 (2) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的

小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。(3) vP的值：令 得

df v 0 dv

2kT 2 RT RT vp 1.41 m M M

2、平均速率 (1)定义： 大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。

v N v i

i

(2)计算：

vdN v N

N

dN Nf (v )dvvdN vNf (v )dv v = N N

vf (v )dv

8kT 8 RT RT v 1.60 m M M

3、方均根速率 (1)定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做 方均根速率。 (2)计算：

v2

2 v dN

N2

2 v Nf (v )dv

N

v 2 f (v )dv

vrms

3kT 3 RT RT v 1.73 m M M

4、讨论

2kT 2 RT RT vp 1.41 m M M (1)vp 随 T 升高而增大，随m 增大而减小。 f (v ) m1 m2 f (v ) T2 T1 mT2 T11

m2

o

v P1

vP 2

v

o

v P1 v P 2

v

(2)三种速率的大小顺序为 v p v vrms

(3)三种速率的意义 讨论速率分布时——用最概然速率 讨论分子碰撞时——用平均速率

讨论分子平均平动动能时——用方均根速率(4)都含有统计的平均意义，反映大量分子作热

运动的统计规律。

练习

说明下列各量的物理意义：

1. f (v )dv

2. Nf (v )dv4. v2

3. nf (v)dv5. v2 v1

v1

f ( v )dv

Nf (v )dv 6. 0 f (v )dv2

7. v f (v )dv0