九年级数学下册2.1建立二次函数模型课件二湘教版

2.1建立二次函数模 型 执教者：肖胜男

请用适当的函数解析式表示下列问题中的两个变 量 y 与 x 之间的关系： (1)圆的面积 y (

cm )与圆的半径 x ( cm )

2

y =πx2(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的 利润为y 万元

y = 2(1+x)2

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是 一个矩形，周长为120 m , 室内通道的尺寸如图,设 一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。

1

y = (60-x-4)(x2)

1

1

x

1.y

=πx2

2.y

= 2(1+x)2 =2x2+4x+2

3.y=

(60-x-4)(x-2)

=-x2+58x-112

上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征 ? 经化简后都具有y=ax² +bx+c 的形式.

(a,b,c是常数, a≠0

)

我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称：a为二次项系数，

b为一次项系数，c为常数项,

下列函数中,哪些是二次函数?(1) y x 2 1 (2) y 2 x (3) y x(1 x)

是 不是 是不是

因为化简后得：y=-x2 x

(4) y ( x 1) 2 x 2

不是 因为化简后得：y=-2x 1

(5)y=3x-1

先化简后判断

1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 (1) y=-x2+58x-112 (2)y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c (1) y=-3x2-x-1 (2)y=x2+x (3)y=5(x2-1)

请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 (1)二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 2

例如：y 2x x

(2)二次项系数为-5,一次项系数为 常数项的3倍。 2

例如：y -5x 3x 1

函数y ax2 bx c(其中a,b,c为常数)? 当a,b,c满足什么条件时 (1)它是二次函数?(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

解：() 1 a 0

(2)a 0, b 0

(3)a 0, b 0, c 0

例1、若函数 y (m 1)x 是以自变量x 的二次函数，求m的值。2

m 2 m

解：因为该函数为二次函数， 则2 m m 2(1) 2 m 1 0( 2)

解(1)得：m=2或-1 解(2)得： m 1且m 1 所以m=2

例2:已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x px q, 得：2

{

1 p q 4 4 2 p q 52

解得，p 12, q 15.

所求的二次函数是y x 12x 15

已知二次函数

y 2( x 1) 42

(1)你能说出此函数的最小值吗？当x=1时,函数y有最小值为4 (2)你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数

问题：是否任何情况下二次函数中的自变量

的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y (cm )与圆的半径 x( cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢？ x 0注

意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.

例3: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) , 设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形 EFGH的面积为 即：y y(cm2),求 : (l)求y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围

分析：1、S四边形EFGH S正方形ABCD 4S1 y 22 4 x(2 x) 2AEH

D X H 2–X A X

2–X

G X C 2–X F X

即：y 2 x2 4 x 4

E

2–X

B

2、S四边形EFGH S正方形EFGH EF 2 y ( x (2 x)2 2

D

2–X

G X C 2–X F X

)

2

X H2–X

即：y=2x2 4 x 4

自变量x要满足实际意义,

A X

E

2–X

B

0<x<2 所以自变量的取值范围：