求解雅可比矩阵的解析式

% 计算函数f的雅克比矩阵，是解析式
syms a b y x real;
f=a*exp(-b*x);
Jsym=jacobian(f,[a b])


% 拟合用数据。参见《数学试验》，p190，例2
data_1=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];
obs_1=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];

% 2. LM算法
% 初始猜测s
a0=10; b0=0.5;
y_init = a0*exp(-b0*data_1);
% 数据个数
Ndata=length(obs_1);
% 参数维数
Nparams=2;
% 迭代最大次数
n_iters=50;
% LM算法的阻尼系数初值
lamda=0.01;

% step1: 变量赋值
updateJ=1;
a_est=a0;
b_est=b0;

% step2: 迭代
for it=1:n_iters
if updateJ==1
% 根据当前估计值，计算雅克比矩阵
J=zeros(Ndata,Nparams);
for i=1:length(data_1)
J(i,:)=[exp(-b_est*data_1(i)) -a_est*data_1(i)*exp(-b_est*data_1(i))];
end
% 根据当前参数，得到函数值
y_est = a_est*exp(-b_est*data_1);
% 计算误差
d=obs_1-y_est;
% 计算（拟）海塞矩阵
H=J'*J;
% 若是第一次迭代，计算误差
if it==1
e=dot(d,d);
end
end

% 根据阻尼系数lamda混合得到H矩阵
H_lm=H+(lamda*eye(Nparams,Nparams));
% 计算步长dp，并根据步长计算新的可能的\参数估计值
dp=inv(H_lm)*(J'*d(:));
g = J'*d(:);
a_lm=a_est+dp(1);
b_lm=b_est+dp(2);
% 计算新的可能估计值对应的y和计算残差e
y_est_lm = a_lm*exp(-b_lm*data_1);
d_lm=obs_1-y_est_lm;
e_lm=dot(d_lm,d_lm);
% 根据误差，决定如何更新参数和阻尼系数
if e_lm<e
lamda=lamda/10;
a_est=a_lm;
b_est=b_lm;
e=e_lm;
disp(e);
updateJ=1;
else
updateJ=0;
lamda=lamda*10;
end
end
%显示优化的结果
a_est
b_est


MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。
syms r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f
])
结果：
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]