模型组合讲解——追及相遇模型

2(a 2 a

1 ) 模型组合讲解一一追及、相遇模型

文/孙立刚

、追及、相遇模型（同一直线上）

【模型概述】

追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时 刻到达同一位置。 可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：

一是相遇位置与各物体的初始 位置之间存在一定的位移关系。

若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的 运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发厶 t ,则运 动时间关系为t 甲t 乙 t 。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。

【模型讲解】

1. 利用不等式求解

例1:甲、乙两物体相距S ，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静 止不动。甲物体在前，初速度为 V 1，加速度大小为a i 。乙物体在后，初速度为 V 2,加速度 大小为a 2且知V 1<V 2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距 离为多少？

V i v

解析：若是 — 一，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中， a i a ?

乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为

若是— -，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时

a ? a ? 刻，此时两物体相距最近，根据 V 共 V 1 a 1t V 2 a 2t ，求得 V 2 V 1

a ?

在t 时间内

甲的位移s 1 乙的位移s 2

代入表达式 求得 S S

2 V i 2a 1 2 V

2 2a 2

V 1

S S S|

S 2 (V 2 V 1)

评点：本题是一个比较特殊的追及问题 （减速追减速）。求解时要对各种可能的情况进行

全面分析，先要建立清晰的物理图景。本题的特殊点在于巧妙地通过比较两物体运动时间的 长短寻找两物体相距最近的临界条件。

2. 巧用图象法求解

例2 :如图1所示，声源S 和观察者A 都沿x 轴正方向运动，相对于地面的速率分别为 v s 和V A 。空气中声音传播的速率为 V p ，设V s V p , V A V P ，空气相对于地面没有流动。 叫 叫

F —— 1 T

■

5 A （1）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为 t ，请根据发出的这两个声信号从声源

传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔 t'。

（2）请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频 率间的关系式。

两式相减可得:

V P V A

V p V s

—s T

V P V A

由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为

V p V A

V P V S

S V s S' V A t' V p ( t V p ( t' t o )

t o )

P 2为再发声信号）的位移一

则有：

V A t' V s t V p ( t' t)

解得 V p t' p

（2）

周期为 设声源发出声波的振动周期为 T ，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动的

T' 解析：作声源 S 、观察者A 、声信号p （ P 1为首发声信号, 时间图象如图

评点：图象分速度图象和位移图象，位移图线的斜率为速度，速度图线的斜率为加速度,

速度图线与时间轴所围的“面积”值，等于该段时间内的位移大小。

3.妙取参照物求解

例3:火车甲正以速度v i向前行驶，司机突然发现前方距甲d处有火车乙正以较小速度

V2同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动而停下。为了使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？

解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为（v j v2）、加速度为a的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为d o

2即：0 (w v2)

(V1 V2)2 2ad, a

2d

故不相撞的条件为a (V1 V2)2

2d

【模型要点】

追及、相遇问题特点：讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一个条件: 即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

【特别说明】

1.匀减速运动的物体追同向匀速运动物体

若二者速度相等时，追赶者仍没有追上被追赶者，则追赶者永远追不上被追赶者，此时二者有最小距离；若二者相遇时，追赶者的速度等于被追赶者的速度，则刚好追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时，追赶者的速度仍大于被追赶者的速度，则还有一次

被被追赶者追上追赶者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个最大值。

2.初速度为零的匀加速运动的物体追同向匀速运动的物体

只要时间足够长，追赶者一定能追上被追赶者发生碰撞。当二者速度相等时有最大距离。

若位移相等即追上（同一地点出发）。

在相遇问题中，同向运动的两物体追到即相遇，解决方法同上；相向运动的物体，各自发生的位移绝对值之和为开始时两物体间的距离时即相遇。

【模型演练】

（2005年徐州模考）在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车

的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什

么条件时可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3 ）两车能相遇两次（设两车相

遇时互不影响各自的运动）

答案：设两车速度相等经历的时间为t,则甲车恰能追及乙车时，应有

a甲t v甲t v乙t L

2

v甲v乙

其中t —，解得L 25m

a甲

若L 25m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。

若L 25m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。

若L 25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。（文/孙晋善）、追及、相遇模型（不在一条直线上）

【模型概述】

不在一条直线上的相遇问题在近年高考中也较为常见，如2000年的上海高考中的“估算

出飞机速度”，2004年广西高考“观察者看卫星”等，该类问题其实是两种不在一条直线上的运动或不同运动的组合体，在空间上在某一时刻到达同一位置。

【模型讲解】

例?有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h。同时岸上一人从停放点起追赶小船，

已知他在岸上跑的速度为 4.0km/h，在水中游的速度为 2.0km/h，问此人能否追及小船？

解析：费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此就将一个运动问题通过类比法可转化为光的折射问题。

如图3所示，船沿OP方向被刮跑，设人从O点出发先沿湖岸跑，在A点入水游到OP 方向的B点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。

根据折射定律:

sin 90 v i 4.0

sin v2 2.0

解得 30 , 180 15 （90 ） 45

在这最短时间内，若船还未到达 B 点，则人能追上小船，若船已经通过了

B 点，则人不 能追上小船，所以船刚好能到达

B 点所对应的船速就是小船能被追 …… 此处隐藏：2232字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……