固体物理 第3章 晶格振动与晶体的热学性质2

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§3-3 一维双原子链 声学波和光学波 一维双原子链是最简单的复式格子,每个元胞含2个不同的原子P 和Q.假定平衡时原子间距均为a,P,Q的质量分别为m和M,原子限 制在沿链的方向运动,偏离格点的位移用 L, 2n , 2n+1, L表示.同样 假定只有相邻原子之间存在作用,互作用能取简谐近似,则有:

& m&&2n =β(22n 2n+1 2n1) M&2n+1 =β(22n 2n+2 2n) 同前,该2N个联立方程组具有下列的格波解

2n = Ae

i[ωt ( 2na) q ]

2n+1 = Be

i[ωt (2n+1)aq]

(1)

代入并整理得;

(mω 2 2β)A+ (2β cosaq)B = 0 (2β cosaq)A+ (Mω 2 2β)B = 0 2 2 2(2)

该齐次方程有非零解解的条件是系数矩阵行列式等于零即:

mM 2β(m + M)ω + 4β sin aq = 0 ω4

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解得:

1 2 m+ M 4mM 2 ω± = β 1± 1 sin2 aq mM (m+ M)2 2 mω ± 2β 2β cos aq B = = 2 2β cos aq A ± Mω ± 2β

(3)

代回原方程组得到P,Q原子格波的振幅比:

讨论:(1)一维复式格子存在两种不同的色散关系 ω + ( q ), ω ( q ) 即存在两种独立的格波,而一维布拉菲格子只存在一种 格波. (2)相邻元胞之间(晶格常数为2a)的位相差位2aq.如果 2aq等于 2π 的整数倍,则所有元胞的振动情况完全相同; 第n个元胞 元胞和第 n ′ 个元胞之间的位相差为:2 aq ( n n ′) 元胞 ,若其等于 2π 的整数倍,则第n个元胞和第 n ′ 个元胞 振动情况完全相同.

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(3)同前,由(1)式,为了保证波函数是q的单值函数或者由(2) 式,为了使得格波频率和q的一一对应,将q限定在 aq ≤ π 即:

π2a

< q ≤

π2a

2

,该范围即为一维双原子链的布里渊区.同样,

q的正负值对应一对相反的传播方向. (4)同样,采用Born—Karman周期性边界条件即:

N ( 2 aq ) = 2πh, ( h取整数 )该条件使得原来q可以在

π

2a

<q≤

π

2a

范围连续 连续取值变成只能分立 分立 连续

取值,亦即使连续谱成为离散谱.相应地限定了h的取值范围, N N h只能取 2 < h ≤ 2 范围的N个不同的值.q也只能有N个不同的 ω 值.格波频率ω 有2N个(ω + 有N个, 有N个)不同的取值. 最后得出:系统的格波频率数等于系统的自由度数 系统的格波频率数等于系统的自由度数(一维布拉菲 系统的格波频率数等于系统的自由度数 格子有N个自由度,一维复式格子有2N个自由度);晶格振动波 晶格振动波 矢的数目等于晶体的元胞数. 矢的数目等于晶体的元胞数. (5)从(3)式可以得到,当 aq = π 时, ,ω 分别取最小值和最大 ω+ 2 值,分别为:

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1 1 2 Minω ) = β ( (m + M + m M ) Maxω ) = β ( (m+ M m M ) mM mM2 +

不失一般性,假定

M >m

,则:

2 12 Min (ω + ) = ( β ) m即两色散曲线没有交点.

2 12 Max (ω ) = ( β ) M

ω 当 q = 0 时, + , ω 分别取最大值和最小值,分别为:2 Max (ω + )

2( m + M ) =β mM

2 Min(ω ) = 0

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色散关系如下图.

(6)考虑q较小时的行为 ω 利用泰勒

级数展开可以得到: ≈ qa

ω 较长时, 和q成线性关系,类似声波在连续弹性介质中传播的 情形,因此这种格波( ω 支)叫做声学支 声学支.也就是说,处理长 声学支 声学波时,可以将晶格看成连续弹性介质. 该色散关系曲线和由完全相同的原子组成的一维布拉菲格子 的相仿,即由完全相同的原子组成的一维布拉菲格子只有声学波

2β 说明,当波长 m+M

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此外,对于长声学波: B A

→ 1 ,即元胞中两种原子以完全相同的

方式运动(振幅和相位没有区别),声学波实际上代表元胞质心的 振动. ω + 支,q较小时: + → 2β m + M .实际晶体中, ω 对于

mM

ω+ (0) ~ 1013 1014 / s .该范围对应远红外光波(这是离子晶体对远红外光存在一个强烈的共振吸收峰的缘故),因此该支叫做光学支. 光学支. 光学支 对于长光学支, B → m ,即一个元胞中的两不同原子相向运动 A + M

,晶列中同种原子以相同的步调运动(由(1)式).且Bm+AM=0, 即元胞的质心保持固定,光学波代表元胞中两个原子的相对运动, 如下图.

如果考虑的是由正负离子组成的复式格子,将使晶体中产生宏观 的极化.