概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案

第七章 假设检验

习题7.1

1． 设X1 , …, X n是来自N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题

H0：µ = 2 vs H1：µ = 3，

若检验由拒绝域为W={≥2.6}确定． （1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；

（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n最小应取多少？ （3）证明：当n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为

α=P{∈W|H0}=P{≥2.6|µ=2}=P

犯第二类错误的概率为

µ2.6 2

≥=2.68 =1 Φ(2.68)=0.0037，

n20

β=P{ W|H1}=P{<2.6|µ=3}=P

µ2.6 3

<= 1.79 =Φ( 1.79)=0.0367；

n20

µ2.6 3

（2）因β=P{<2.6|µ=3}=P <= 0.4n =Φ( 0.4n)≤0.01，

n n

则Φ(0.4n)≥0.99，0.4n≥2.33，n ≥ 33.93，故n至少为34；

µ2.6 2

（3）α=P{≥2.6|µ=2}=P ≥=0.6n =1 Φ(0.6n)→0(n→∞)，

n n

β=P{<2.6|µ=3}=P

µ2.6 3<= 0.4n =Φ( 0.4)→0(n→∞)． n n

2． 设X1 , …, X10是来自0-1总体b (1, p) 的样本，考虑如下检验问题

H0：p = 0.2 vs H1：p = 0.4，

取拒绝域为W={≥0.5}，求该检验犯两类错误的概率． 解：因X ~ b(1, p)，有∑Xi=10~b(10,p)，

i=1

10

10

k

则α=P{∈W|H0}=P{≥0.5|p=0.2}=P{10≥5|p=0.2}=∑C10 0.2k 0.810 k=0.0328，

k=5

k

β=P{ W|H1}=P{<0.5|p=0.4}=P{10<5|p=0.4}=∑C10 0.4k 0.610 k=0.6331．

k=0

4

3． 设X1 , …, X16是来自正态总体N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题

H0：µ = 6 vs H1：µ ≠ 6，

拒绝域取为W={| 6|≥c}，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ = 6.5处犯第二

类错误的概率．

c µ

解：因α=P{∈W|H0}=P{| 6|≥c|µ=6}=P ≥=2c =2[1 Φ(2c)]=0.05，

2

则Φ (2c) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98；

故β=P{ W|H1}=P{| 6|<0.98|µ=6.5}=P{ 1.48< 6.5<0.48|µ=6.5}

6.5

=P 2.96<<0.96 =Φ(0.96) Φ( 2.96)=0.83．

4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X1 , …, X n是样本，考虑检验问题

H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3，

拒绝域取为W={(n)≤2.5}，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过0.05，n至少应取多大？

解：因均匀分布最大顺序统计量X(n) 的密度函数为pn(x)=

则α=P{∈W|H0}=P{X(n)≤2.5|θ=3}=∫

n

2.5

nxn 1

θΙ0<x<θ，

2.5

nxn 1xn

=n3n3

2.5n 5

=n= ， 3 6

n

ln0.05 5

要使得α ≤ 0.05，即 ≤0.05，n≥=16.43，

6ln(5/6)

故n至少为17．

5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，

则又有可能犯哪一类错误？

答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；

当原假设不真时，则犯了第二类错误．

若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；

当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．

6． 设X1 , …, X20是来自0-1总体b (1, p) 的样本，考虑如下检验问题

H0：p = 0.2 vs H1：p ≠ 0.2，

20

20

取拒绝域为W= ∑xi≥7或∑xi≤1 ，

i=1 i=1

（1）求p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1的势并由此画出势函数的图；

（2）求在p = 0.05时犯第二类错误的概率．

20

解：（1）因X ~ b(1, p)，有∑Xi~b(20,p)，势函数g(p)=P ∑Xi∈W

i=1 i=1

206 20 k20 k

p =1 ∑ p(1 p)， k k=2

6

20 k20 k 20 k20 k

故g(0)=1 ∑ g×0×1=1，(0.1)=1 =0.3941， ∑ k k ×0.1×0.9k=2 k=2

6

6

20 20 k20 k20 kk

g(0.2)=1 ∑ g×0.2×0.8=0.1559，(0.3)=1 =0.3996， ∑ k k ×0.3×0.7

k=2 k=2

6

6

20 20 k20 k20 kk

g(0.4)=1 ∑ g×0.4×0.6=0.7505，(0.5)=1 =0.9424， ∑ k k ×0.5×0.5k=2 k=2

6

6

20 20 20 k20 kkk

g(0.6)=1 ∑ g×0.6×0.4=0.9935，(0.7)=1 ×0.7×0.3=0.9997， ∑ k k k=2 k=2

g6

20 20 kk

g

(0.8)=1 ∑ ×0.8×0.2=0.999998 k=2 k

6

20 20 kk

g(0.9)=1 ∑ ×0.9×0.1≈1， k k=2

6

20 k20 k

g(1)=1 ∑ =1； k ×1×0

k=2

6

（2）在p = 0.05时犯第二类错误的概率

20 6 20 k20 k

β=P ∑Xi W|p=0.05 =∑ ×0.05×0.95=0.2641． k

i=1 k=2

7． 设一个单一观测的样本取自密度函数为p(x)的总体，对p(x)考虑统计假设： H0：p0(x) = I 0 < x < 1 vs H1：p1(x) = 2x I 0 < x < 1．

若其拒绝域的形式为W = {x: x ≥ c}，试确定一个c，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α + 2β 为最小，并求其最小值．

解：当0 < c < 1时，α = P{X ∈ W | H0} = P{X ≥ c | X ~ p0(x)} = 1 c，

且β=P{X W|H1}=P{X<c|X~p1(x)}=∫2xdx=c2，

0c

7 11 7 1

则α+2β=1 c+2c=+2 c+c2 =+2 c ，

8 162 8 4

2

2

17

时，α + 2β 为最小，其最小值为． 48

8． 设X1, X2, …, X30为取自柏松分布P(λ)的随机样本．

（1）试给出单侧假设检验问题H0：λ ≤ 0.1 vs H1：λ > 0.1的显著水平α = 0.05的检验； （2）求此检验的势函数β (λ)在λ = 0.05, 0.2, 0.3, …, 0.9时的值，并据此画出β (λ)的图像．

故当c=

解：（1）因n=X1+X2+L+X30~P(30λ)，

假设H0：λ ≤ 0.1 vs H1：λ > 0.1， 统计量n~P(30λ)，

Pp(3) 1

当H0成立时，设n~P(3)，其p分位数Pp(3)满足

∑

k=0

3k 3

e<p≤k!

Pp(3)

∑

k=0

3k 3

e k!

显著水平α = 0.05，可得P1 α (3) = P0.95 (3) = 6，右侧拒绝域W={n≥7}；

(30λ)k 30λ

， （2）因β(λ)=P{n∈W|λ}=P{n≥7|λ}=1 ∑e

!kk=0

6

6

1.5k 1.56k 6

故β(0.05)=1 ∑e=0.0001，β(0.2)=1 ∑e=0.3937，

!kk=0k=0k!

6

69k 912k 12

β(0.3)=1 ∑e=0.7932，β(0.4)=1 ∑e=0.9542，

!!kkk=0k=0

6

615k 1518k 18

β(0.5)=1 ∑e=0.9924，β(0.6)=1 ∑e=0.9990，

!!kkk=0k=0

6

β(0.7)=1 ∑

6

21 21

e=0.9999， !kk=0

6k

β (24k 24

β(0.8)=1 ∑e≈1，

!kk=027k 27

β(0.9)=1 ∑e≈1．< …… 此处隐藏：19553字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……