线性卷积与圆周卷积的计算

线性卷积与圆周卷积的计算

线性卷积与圆周卷积的计算

一、基本原理

1. 线性卷积

当系统输入序列为x(n),系统的单位冲击响应为h(n)，输出序列为y（n），则线性时不变系统输入、输出间的关系为：

Y（n）=h（n）*x（n）

2. 圆周卷积

设两个有限长序列x1(n)和x2(n)，均为N点，其N点的DFT分别为X1(k)和X2(k)，如果X3(k) X1(k) X2(k)，则

1(m)x 2(n m)]RN(n) x3(n) [ x

m 0N 1

x1(m)x2((n m))N

m 0N 1

Nx2(n)0 n N 1 x1(n)○

二、实验内容与要求

已知两个有限长序列：

x(n) (n) 2 (n 1) 3 (n 2) 4 (n 3) 5 (n 4)

h(n) (n) 2 (n 1) (n 2) 2 (n 3)

（1） 实验前，预先笔算好这两个序列的线性卷积及下列几种情况的圆周卷积 ①x(n)⑤h(n)②x(n)⑥h(n)③x(n)⑨h(n)④x(n)⑩h(n)

（2）编制一个计算两个序列线性卷积的通用程序，计算x(n) h(n)。

（3）编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下的两个序列的圆周卷积。

（4）上机调试并记录实验结果

（5）将实验结果和预先笔算的结果比较，验证其正确性。

线性卷积与圆周卷积的计算

三、实验过程

function yc=circonv(x1, x2, N)

if length(x1)>N

error('N必须大于等于x1的长度');

end

if length(x2)>N

error('N必须大于等于x2的长度');

end

x1=[x1, zeros(1,N-length(x1))];

x2=[x2, zeros(1,N-length(x2))];

n=[0:1:N-1];

x2=x2(mod(-n, N)+1);

H=zeros(N, N);

for n=1:1:N

H(n,:)=cirshiftd(x2, n-1, N);

end

yc=x1*H';

function y=cirshiftd(x, m, N)

if length(x)>N

error('x的长度必须小于N');

end

x=[x, zeros(1, N-length(x))];

n=[0:1:N-1];

y=x(mod(n-m,N)+1);

①x(n)⑤y(n)

clear all

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

N1=length(xn);

N2=length(hn);

y1n=conv(xn, hn);

ycn=circonv(xn, hn, 5);

ny1=[0:1:length(y1n)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1, y1n);

subplot(2,1,2); %计算圆周卷积

线性卷积与圆周卷积的计算

stem(ny2, ycn);

②x(n)⑥y(n)

clear all;

N1=5;

N2=4;

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

yln=conv(xn,hn);

ycn=circonv(xn,hn,6);

ny1=[0:1:length(yln)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1,yln);

ylabel('线性卷积');

subplot(2,1,2);

stem(ny2,ycn);

ylabel('圆周卷积');

线性卷积与圆周卷积的计算

③x(n)⑨y(n)

clear all;

N1=5;

N2=4;

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

yln=conv(xn,hn);

ycn=circonv(xn,hn,9);

ny1=[0:1:length(yln)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1,yln);

ylabel('线性卷积');

subplot(2,1,2);

stem(ny2,ycn);

ylabel('圆周卷积');

线性卷积与圆周卷积的计算

④x(n)⑩y(n)

clear all;

N1=5;

N2=4;

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

yln=conv(xn,hn);

ycn=circonv(xn,hn,10);

ny1=[0:1:length(yln)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1,yln);

ylabel('线性卷积');

subplot(2,1,2);

stem(ny2,ycn);

ylabel('圆周卷积');

线性卷积与圆周卷积的计算

四、思考题解答

（4）线性卷积运算一般步骤为：①求x1(n)与x2（n）的线性卷积；②对x1(m)或x2（m）先进行镜像移位x1（-m），对移位后的序列再进行从左至右的依次平移x(n-m),当n=0,1,2.…N-1时，分别将x(n-m)与x2（m）相乘，并在m=0,1,2.…N-1的区间求和，便得到y（n）。 圆周卷积运算一般步骤为：在圆周卷积过程中，求和变量为m，n为参变量，先将x2(m)周期化，形成x2((m))N,再反转形成x2((-m))N,取主值序列则得到x2((-m))NRN(m),通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)圆周反转序列圆周右移n,形成x2((n-m))NRN(m),当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。

（5）采用圆周卷积运算代替线性卷积运算：时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的相乘，而计算DFT可以采快速傅立叶变换（FFT），因此圆周卷积和线性卷积相比，计算速度可以得到提高。