浙江大学概率论2011-2012春夏试卷

浙江大学2011—2012学年春夏学期 《概率论与数理统计》期末考试试卷

一． 填空题（每小格3分，共39分）：

1. 有个活动，记甲、乙、丙参加为事件A、B、C，已知甲参加时乙一定参加，

P A 0.5，P B 0.6，P CA 0.8，PCA 0.6，则P C ___________，P ABC __________。

2. 进行12分钟跑测试。设某批同学在12分钟内跑步圈数X~ 5 （平均5圈的泊

松分布），则随机选一位同学，她至少跑4圈的概率为___________；若随机选3位同学，记她们中至少跑4圈的人数为Y，则Y的概率分布律为

3. 设服从参数为1的指数分布，对进行n次独立重复试验，记观测结果为

X1，…，Xn，则P(X1 3X1 2) ____________；当n 时，

108

1n 2Xip

e ____________；P{ e Xi 57} ____________。 ni 1i 1

2

4. 设总体X~N( , 2)， ， 未知，X1，…，X9为X的简单随机样本，

19192

X Xi，S Xi X

9i 18i 1

2

9

，则 Xi与 Xi 的相关系数为

i 1 i 4

6

___________；若

2

a1X

b

X

~N 0 ,，1则

a,b

____；____

X1 X2 X3 X4

22

X1 X2 X3 X4

________分布（要求写出参数）；若根据样本观测值，

x 7.2，s 1.5，则 2的置信度为0.95的置信区间为___________。

5. 保险公司希望希望确定居民住宅区火灾损失数额Y（千元）与该住户到最近消防站

之间距离x（千米）的关系以便确定保险金额。设Y~N(a bx, )，a，b，

2

2

均未知，……，已知x 3.3，y 26.4， x1,y1 ， x15,y15 是15个独立观察数据，

x x

i

i 1

15

2

34.80， yi y

i 1

15

2

907.698， xi xyi y 170.52，

i 1

15

__________， 2的无偏估计为采用最小二乘估计，则回归方程y

__________。

答案：一填空题（每小格3分，共39分） 1. 0.6,0.4. 2. 1

118 5

e 0.735

；

3. e

1

0.368；1/3；0.16.

4. -1/2 ； 3； F 1,2 ； 1.027,8.257 。

10.23 4.9x， 5.55 5. y

二．

（11分）一盒中有6个红球5个白球，每次同时从中取2球，不放回取3次。记Xi，

i 1,2,3为第

i次取到的红球数，X为总共取到的红球数，求（1）X1的分布律；（2）

前两次中至少取得一个红球的概率；（3）E X 。 4 分

2222

（2）p 1 C5C3/C11C9 5/11 7分

（3）E X E(X1 X2 X3) 3E(X1) 36/11

11分

三．

cx,0 x 1

（12分）设随机变量X的概率密度f(x) x 1,1 x 2，记Y X 1，求

0,其他

（1）常数c；（2）Y的分布函数FY(y)；（3）E XY 。 解：（1）1

f(x)dx c xdx (x 1)dx

1

12

c1

， c 1； 4分 22

（2）FY(y) P(Y y) P(X y 1)

y 1, 0,

2

(y 1), 1 y 0, 2 1y2 9分 ,0 y 1, 22

y 1. 1,

（3）

E XY E X(X 1) x(x 1)dx x(x 1)2dx

20

1

12

1

2 12分

（10分）比较A，B两种测定铁矿石含铁量是否存在明显差异。现用这两种方法测定9四．

个不同铁矿石标本的含铁量（%），假设成对数据的差服从正态分布，问这两种测定方法是

解：di -0.1 -0.2 0.7 0.2 0.6 -0.4 -0.5 -0.8 -0.4

H0： D 0，H1： D 0

t

D

t0.025 8 4分

拒绝域：

计算及查表得：

d 0.1

，

s 0.2575， t

2D

D

0.591，t0.025 8 2.31 8分

不落在拒绝域内，接受原假设，认为两种测定方法没有显著差异。 10分

四．

0 x 1 0，（14分）设总体X的概率密度f(x; ) ，未知；X1，…，

0,其他

，并判断 是否为 的相合估（1）求 的矩估计量 Xn为来自X的简单随机样本，11 ，并判断 是否为 的无偏估计量。 计量；（2）求 的极大似然估计量 22

解：（1）E X

1

x1/

p

1 1 X 5分 ，X E X 1

1X

由辛钦大数定律，X

1 1p 1 X / ，即 1是 的， 1 1 1 1X

相合估计量； 7分

（2）似然函数L

1

n

n

n

1

10分

lnL nln

n

1

lnXi lnXi，

i 1

i 1

n

dlnL

0，

d

2

lnXi

i 1

n

12分

n

E lnXi y1 y i 1 E 2 E( lnX) ln edy ，是无偏估计

00 n

量。 14分 五．

（

14

分

）

设

随

机

变

量

X,Y

的概率密度

0 x 2,0 y 1, xy/2,

f(x; ) (2 x)y/6,0 x 2,1 y 2,，（1）求P X （2）设F XYY 1 ，,

0,其他.

是 X,Y 的分布函数，求F 1,1.5 ；（3）求X，Y的边际概率密度fX x ，fY y ；（4）求条件概率密度fYXyx。 解：（1）P X Y 1 1 （2）F 1,1.5

1

1

1

dx

1 x

xy/2dy 1 x(1 x)2/4dx 47/48 3分

1

1.5

1

11059

dxxy/2dy dx(2 x)y/6dy 6分 0 0 0 1

8489632

21 1

0xy/2dy 1(2 x)y/6dy ,0 x 2

f(x,y)dy 9分 2

0,其他

（3）fX x

fY y

2

0xy/2dx y, 2

f(x,ydx) ( 2xy)dx/6 y

0

0,

0y 1

/3 ,y 1 122分 其他

（4）0 x 2，fYX

xy,0 y 1,

yx ff(x(,xy)) (2 x)y/3,1 y 2, 14分

X 0,其他