量子力学课后答案4.5到7.8题

xi wang

和L 的矩阵分别为 2和L 的共同表象中，算符L L4.5 设已知在Zxy

0 i0 010

2

Lx i0 i 101 Ly 22 0i 0 010

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。

x的久期方程为 解：L

0

2

0 3 2 0

22 0

2

1 0， 2 ， 3 的本征值为0， ， ∴Lx Lx的本征方程

a1 010 a1

101 a2 a2

2 a

010 a3 3

a1 2和L 共同表象中的矩阵 的本征函数L 其中 a2 设为LZx

a3

当 1 0时，有

10 a1 0 0

101 a2 0 2 010 a3 0 a 0 2 a a，a2 0 13 0 a3 a12 0 2 a a

1

∴ 0 0

a1

由归一化条件

a1 2 **

(a,0, a)0 1 0 2a1 011

a 1

1

取 a1

2

xi wang

1 2

的本征值0 。 对应于L 0 0x

1

2

当 2 时，有

a1 010 a1

101 a2 a2

2 a 010 a3 3

2a 2 a a2 2a1

1 1

(a1 a3) a2 a2 2a3 2

a a1

a3 31

a2 2 a 1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

1

a1

2*** 1 (a1,2a1,a1) 2a1 4a1

a1 1 取 a1

2 1

2 1

的本征值 ∴归一化的 对应于Lx

2

1

2

当 2 时，有

010 a1 a1

101 a2 a2

2 a

3 010 a3

1 a1 2 a a2 2a1

1 1 (a1 a3) a2 a2 2a3

2 a a

1 1 a3 3

a2 2

a1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

a1 2***

1 (a1, 2a1,a1) 2a1 4a1

a1

1

取 a1

2

xi wang

1 2 1 的本征值 ∴归一化的 对应于Lx

2 1

2

表象的变换矩阵为 2和L 的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx 111

22 2

11

S 0 22

11 1 22 2

∴对角化的矩阵为L x SLxS

1 11 1

0 22 010 2 2

111 11010 L x 2 22 22 010 11 1 1 1 2 2 222

111

222 000

11 11

10

2 22 22 1 111 11 22 22 2

0 000 00

20 0 0 0

2 00 2 00

按照与上同样的方法可得

的本征值为0， ， L y

的归一化的本征函数为 L y

1 1

1 22 2

i i 0 0

22 1

1 1 2

22

2和 的共同表象变到L 表象的变换矩阵为 从L LZy

2 1 2 121

1 111 222 2 ii 1 S 0 S 2 22

111 1 2 22 2 利用S可使Ly对角化

0 ii2

2

1

2 1 2 1 2

000

L 0 y SLyS 0

00

xi wang

4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为

J t

i

( * * ) ∴ J 2 i J ( * * ) 而

2

i

( 2 * * 2 ) 2

1 * *T ) ( T

i

T *) i ( *T ∴

t * ( ) T *) i ( *T

t

写成矩阵形式为

T i ( ) T t

( T )* * 0i ( ) T t

第五章 微扰理论

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态 能量的一级修正。 解：这种分布只对r r0的区域有影响，对r r0的区域无影响。据题意知 U(r) U(r) H0

其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即

2ze

U（ r）

4 0r

U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r r0区域， Ze2 U(r ) 4 r

在r r0区域，U(r)可由下式得出，

U(r) eEdr

r

Ze43Ze 1 r r, (r r0)233 4

34 r r4 r 0000 E

Ze (r r0) 2

4 0r

r0

U(r) eEdr eEdr rr0

Ze2r0Ze2 1 rdr dr 32

4 0r0

r

4 0

r0

r

Ze2Ze2Ze222 (r0 r) (3r02 r2) (r r0) 33

4 0r08 0r08 0r0

xi wang

Ze2Ze222

(3r0 r) (r r0) 3 H U(r) U0(r) 8 0r04 0r

0 (r r0)

H (0) 2 U(r)，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态 由于r0很小，所以H0

2

Z r Z3

a0(0)1/2

1 (3)e）

a0 (1)(0)* 1(0)d E1 1H

2Z 2 r

Z3r0Ze2Zea022

[ (3r0 r) ]e4 r2dr 3 3

4 0r a008 0r0

2Z

ra0 ∴r a0，故e 1。

r0Z4e2Z4e2r0(1)224

∴ E1 (3r0r r)dr rdr 33030

2 0a0r0 0a0

r05Z4e2Z4e225

(r0 ) r 3330

52 0a0r02 0a0

Z4e2

r2 30 10 0a0

42

2Zes2

r0 3

5a0

5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态

能量的二级修正。

解：取 的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为

2 12 L D cos H D L 2I2I (0) 1L 2, D cos ，则 H 取H 2I

(0) H H H 视为微扰，用微扰法求得此问题。 H由于电场较小，又把 (0)

的本征值为E(()) 1 ( 1) 2 H 2I

(0) 本征函数为 Y m( , )

0） (0)的基态能量为 HE（ 0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0

2 H (2) 0

(0) E0 (0)

E0 E

*(0) (0) 0 H 0d Y * H m( D cos )Y00sin d d

*

D Y m(cos …… 此处隐藏：7463字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……