第三章 空间向量与立体几何

第三章 空间向量与立体几何

第1节 空间向量及其运算

（三）空间向量的运算

1. 掌握空间向量加减法平行四边形或三角形法则

两个向量的加减法有平行四边形法则和三角形法则，其实三角形法则是平行四边形法解析空间向量及其运算 （一）空间向量的概念

1.向量是既有大小又有方向的量。如果把研究范围扩大到空间中就形成了空间向量。 2.数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。

3.过空间任意一点O作向量a ，

b的相等向量OA ,OB ,则 AOB叫做向量a ，

b的夹

角，记作 a , b ，且0 a ,

b 。

（二）空间向量与空间直线、平面

1. l是空间一直线，A,B是直线上任意两

点，则称 AB

是直线l的方向向量。

2. 如果直线l垂直于平面 ，那么直线l的

方向向量

n叫做平面 的法向量。求平面法

向量的一般步骤：

（1）设出平面的法向量

n (x,y,z)；

（2）求出该平面内两个不共线的向量的坐

标a (a

1,b1,c1)b (a2,b2,c2)；

（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的

方程组 n a 0 b 0

；

n（4）解方程组，取其中的一个解，即得法

向量。

3.在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量平行于该平面。我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量。

则的简化，并不是有两个法则。由平行四边形法则知，向量的加减法运算可由几何作图来完成，因为减去一个向量等于加上其相反向量，所以，向量的减法可以看成向量加法的逆运算。

空间向量的多边形法则是三角形法则的推广，正确灵活运用多边形法则可简化多个向量和与差的代数运算。 2.空间向量的数乘

（1）实数 与a 的乘积 a

仍然是个向量，且与a 平行。实数0与a 的乘积

0仍然是个

向量。

（2）利用向量共线的充要条件可以证明两个向量共线，也即对于空间任意两个向量

a ， b( b

0)只要找到一个实数 ，使得a

b成立即可。

数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。

3.向量的数量积

（1）两个非零向量a ，

b的数量积a b a bcos a ,

b 是一个实数，三个向量a ， b， c的积a b c是一个向量， 0

与任何向量的数量积为0。

（2）a b 0 a

b；

（3）a

（4）cos a , b a

b

ab

（a 0，b 0）。4.共面向量定理

空间中任意向量a

都可用不共线的两个向

量e1，e2唯一线性表示即存在唯一实数 1，

a b

（6）cos a,b

e

2有a 1e1 22，e1，e2称为向量的

一组基底。 （四）空间向量的坐标表示和空间向量基本定理

1.在给定的空间直角坐标系中， i， j，

k分

别为x，y，z轴正方向的单位向量，对空

间任意向量a

，存在唯一一组三元有序实数

（x，y，z）使得a xi yj zk

，把a xi yj zk

叫做向量a 的标准正交分解， i， j，

k叫做a 的标准正交基，（x，y，z）叫做空间向量a 的坐标，记作a =

（x，y，z）。

2.如果向量 e ， e

12，e3是空间三个不共面

的向量那么存在唯一一组实数 1， 2， 3使

得a e

1e1 22 3e3，空间三个不共面的向量 e e

1，e2，3叫做空间的一组基底。 3.设a OA

(x 1,y1,z1)， b OB

(x2,y2,z2),则

（1） AB

(x2 x1,y2 y1,z2 z1) （2）a

b (x1 x2,y1 y2,z1 z2) （3） a

( x1, y1, z1) （4）a

b x1 x2 y1 y2 z1 z2 （5

）a

ab

（a 0，

b 0） （7）a b a

b 0

x1 x2 y1 y2 z1 z2 0

空间向量

（一）向量的加减法运算

例1如图3-1-1在长方体ABCD A1B1C1D1

中下列各式的运算结果为向量 BD

1的是

( )

(1) A

1D1 A1A AB;

(2) BC BB1

D1C1

;

(3) AD AB DD 1

;

(4) B1

D

1

A 1

A DD1

。.

A. (1) (2) B. (2) (3) C. (3) (4) D. (1) (4)

图3-1-1

分析：在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量那样运用向量运算定理求解，对减法运算做同样处理。

解：(1) AD

11 A1A AB

AD BD 11 AA1 BA 1;

(2) BC BB

BD 1 D1C11;

(3) AD AB DD BD 2 DD 1

1

1

;

(4) B 1

D1

A1

A DD 1

BD1

DD1

选A。

点评：在对向量进行加减法运算时，一定要运用其运算法则及运算定律来简化，特必要注意有时要将某些向量平移，将其转化到同一个平面去求解。 （二）空间向量共线

例2．已知空间三个不共面的向量 m ，

n，

p 若a 3 m 2 n 4 p ，

b (x 1) m yn 2 p

，且a // b，求实

数x,y的值。

分析：解决向量共线问题的依据是应用共线

向量的充要条件，即a 0时， b a

a // b。

解: a 4 2// b ， b a，

2 y

3 x 1

5解之得： x

2故实数x,y的值分别

y 1

为

5

2

，1。 点评：待定系数法也可以用来解决空间向量

中的有关问题。在解决本题时，有两个关键：一是运用共线向量定理得到相应关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于

,x,y的方程组。

（三）空间向量的数量积 例3．如图3-1-2，S是边长为1的正 ABC所在平面外一点，且SA SB SC 1,若M,N分别是AB,SC的中点，求异面直线

SM与BN所成角的余弦值。

图3-1-2

分析：要求异面直线SM与BN所成角的余

弦值可以转化为求 SM 与 BN

所成角的余

弦值，因此要求， SM BN

以及 SM和 BN

的值，然后代入数量积公式求解。

解: SA a ， SB b， SC c,则a b

c，且它们的夹角均为60 ， a b b c a c 1 SM BN 2

，

12

( SA SB) ( SN SB)

1

1 12a b 2c b

2， cos SM , BN SM BN

2

SM BN

3。 SM与BN所成角的余弦值

23

。 点评：异面直线所成的角的范围为 0,

2

，

而向量的夹角的取值范围为 0, ；

SM

和BN的值就是对应三角形的高，无需用

向量方法再去求。

例4．已知 ABC的三个顶点A(1, 1,7)，

得M(, ,7)。

点评：求三角形内角大小可用向量夹角公式求解，判断向量夹角一定要注意，只 …… 此处隐藏：11989字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……