1.2.1 函数及其表示课件(1)

函数及其表示课件

1.2.1 任意角的三角函数(1)

函数及其表示课件

初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们 都是以锐角α 为自变量，以比值为函数值，定义 了角α 的正弦、余弦、正切的三角函数.角的范围已经推广，那么对任一角α是否也能 像锐角一样定义三角函数呢？ 本节课我们研究当角α 是一个任意角时，其三 角函数的定义及其几何表示.

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1. 任意角的三角函数的定义设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴 重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上任意一点 P(a,b)(除开顶点O),它与原点(即顶点)的距离是r(r>0),那么 根据初中所学过的三角函数的定义，有ya

(1)正弦:sinα=P(a,b)

b r a

;

O

r b α

(2)余弦:cosα=x

rb a

;.

(3)正切:tanα=

由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位 置改变而改变，所以通常取r=1的位置。

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1. 任意角的三角函数的定义设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴 重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上的点P(a,b)与 原点(即顶点)的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数 的定义，有y P(a,b) 0 1 α

(1)正弦:sinα=

MP OPOM OP

=b ;

(2)余弦:cosα=M A(1,0) x

=a ; b a

(3)正切:tanα=

MP OM

.

我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

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1、任意角的三角函数的定义设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么 y (1)正弦:sinα=y ;P(x,y) 0 α A(1,0) x

(2)余弦:cosα=x ;(3)正切:tanα= (x≠0).x y

三角函数 定义域

sinα

cosα

tanα

正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位 圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它 们统称为三角函数。

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三角函数的定义域、值域函数y sin x

定义域R R 2 k , k Z }

值域[ 1, 1] [ 1, 1]

y co s xy ta n x { |

R

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角的概念推广后，实际上是把角的集合 与实数集R之间建立了一一对应的关系： 正角 零角 正实数 零 负实数

负角

角的集合

实数集R

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每一个角都有唯一的一 个实数与它对应；反过来， 每一个实数也都有唯一的一 个角与它对应.

这样我们就可以把三角函数看成是以实数为自变量的 函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函 数的应用更加广泛 .

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例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：(1 ) 5 3 ; (2) ; (3) 3 2 AOP

.5 3

(1)在直角坐标系中，作 解：

(如图),).

得的终边与单位圆的交点坐标为 P ( , 2

1

3 2

s in

5 3

1 2

3 2

,

cos

5 3 5 3

,

ta n

3.

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例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：(1 ) 5 3 ; (2) ; (3) 3 2 .

在直角坐标系中， (2)∵

当 时， 解： 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P ( 1, 0 ).co s 1, ta n 0 . 3 在直角坐标系中， (3)∵ 当 时， 2 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P ( 0 , 1 ). sin 0 , s in 3 2 1, c o s 3 2 0 , ta n 3 2

y

O

x

不存在.

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特殊角的三角函数值

α弧度

0 30 45 0 01 61 23 2 3 3

60 33 2 1 2

90 2

180

270 3 2

360 2

42 2 2 2

0 1

sinα cosα tanα

1

1

01

0不存在

0不存在

0

1

3

0

0

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例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值. 解：如图，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y),分别过点P、P0作x轴的垂线MP,M0P0, 则| O P0 | 5 , | M 0 P0 | 4 , | M P | y ,| O M 0 | 3 , | O M | x , OM P

y M

且

M0| M 0 P0 | | O P0 | | OM |

∽

O M 0 P0 ,

0

x

sin y co s x ta n y x

y 1 x 1

| MP | | OP |

4 5 3

P(x,y);

| OM | | OP | 4 3 .

0

;

s in cos

5 | O P0 | P0(-3,-4)

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(见教材13页) 三角函数的坐标定义 ： 一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它 到原点(顶点)的距离为r>0,则 y x y

sinα=

;cosα=

;tanα=

.

r

r

x

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例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

解法2:点P0(-3,-4),到原点的距离为r ( 3) ( 4) 5.2 2

y

故由三角函数的坐标定义知：s in .

M0,

0

x

y r

4 5

, cos

x r

3 5

ta n

y x

4 3

.

P0(-3,-4)

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例3. 若角的终边落在直线 y=2x上，求α的三角函数值.①若角的终边在第一象限， 解：y

可在其终边上取一点 P(1 , 2),则 r | PO | y r

. PO

1 22

2

x

5 ,

由三角函数坐标定义得：s in 2 5 1 5

2 5 5 5

5

,

x cos r

,

ta n

y x

2.

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例3. 若角的终边落在直线 y=2x上，求α的三角函数值.②若角的终边在第三象限， 解：y

可在其终边上取一点 P(-1 , -2),则 r | PO | y r 2 5

1 22

2

O

x

5 ,

P .

由三角函数坐标定义得：s in

2 5 5

,

x 1 5 , cos 5 r 5

ta n

y x

2.