2012-2013-2高数期末练习题(尹逊武)带答案

一、 填空题

1.

(x,y) lim

2

2. 三元函数u sin(xy) cos(yz)在点 1,,1 处的全微分du (dx dz)

8 4

5

3. 函数f(x) ln(3 2x x2)展开成x的幂级数后x2项的系数为

9

224

4. 函数u ln(x2 y2 z2)在点A(1,2, 2)处的梯度 ,, ，在A点沿A到

999

B(2,3, 1)方向的方向导数为0

5. 设a 0，y'' ay 0的通解为C1ex C2e 2x

6. 曲面z2 1 x2 y2在点(0,1,0) 处的切平面方程为y 1 7. 设L:x y

1，则曲线积分 |x|ds L

n1n18. 设三个级数为① ( 1)② ( 1)p(0 p 1)③ ( 1)np(p 1)，绝

nn 1n 1nn 1n 1

n

对收敛的是③，条件收敛的是②，发散的是①.

z 2z 2z

二、 设z f(xy,x y)，并且f(u,v)有二阶连续偏导数，求,2,

x x x y

2

2

22

z'' z2''2''''' z''''''

yf1 2xf2;2 yf11 4xf22 4xyf12 2f2; xyf11 4xyf22 2(x2 y2)f12 f1' x x x y

三、（1）求过三点A(1,1,1),B(2,0,1),C(1,2,3)的平面方程；2x 2y z 3 0 （2

） dydx

y

1

y

x

e 1 2

y3

4y dx 四、计算

L22 a x

y 3y2ln(x a2 x2)dy其中L为圆周

x2 y2 a2(a 0)上，从点A(a,0)到点B( a,0)的上半圆周（2 a2）

五、求 (2x2 y2)dxdy 2xdydz，其中 为柱面x2 y2 1边界曲面的内侧。

( 2 )

7

六、求函数f(x,y) x2 2y2 x2y2在条件x2 y2 4下的最值.(8,)

4

七、计算第一型曲线积分

2

2

L

(x y)ex

2

y2

ds，其中L为圆弧

2a22a2

(e 1) 2ae y a x,y x,y x所围成扇形区域的边界。21( 1)n

八、求幂级数 (2x 3)n的收敛半径和收敛域.(,(1,2])

2n 02n 1

九、求下列二阶非齐次线性微分方程的通解

y'' 3y' 6x 2(y C1e3x C2 x2)

十、设f(x)是定义在( , )内的以2 为周期的函数，且它在[ , )上的表达式如下：f(x) 1

x

，将它展开为傅里叶级数 2

( 1)n

f(x) 1 sinnx (x R,x (2k 1) )

nn 1