2集合与函数概念复习(提高)

集合和函数概念复习

集合

1：集合的3性：1：确定性； 2：互异性； 3：无序性； 2：元素a与集合A的关系只有属于（a A）和不属于（a A）； 3：常用数集有：

N：自然数集；Z：整数集；Q：有理数集；R：实数集

； **

N或N+：正整数集；Z或Z+：正整数集；

4：集合的表示法：1：列举法； 2：描述法；

5：集合间的基本关系：子集（ 或 ）和真子集（Ü或Ý）； 6：集合的基本运算：并集 ，交集 ，补集ðUA（U为全集）； （1）A B x|x A或x B，A B x|x A且x B ， ðUA= x|x U，且x A ；

函数及其表示

1：函数和映射的概念对比：

函数：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数，记作y f(x)，

x A；

映射：设A，B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个映射； 因此，函数是特殊的映射；

例：下列对应是否是从A到B的函数？

（1）A=R，B x|x 0 ，f:A B，求绝对值； （2）A=Z，B R，f:A B，求算数平方根； （3）A=N，B R，f:A B，求平方根；

（4）A= x|x是新华中学的班级 ，B x|x是新华中学的学生 ，对应关系f:每一个班级都对应班里的学生； （5）A= x|x是圆 ，B x|x是三角形 ，对应关系f:每一个圆对应它的内接三角形； （6）A= x|x是三角形 ，B x|x是圆 ，对应关系f:每一个三角形都对应它的外接圆； 2：函数的定义域：自变量x的取值集合；定义域是一个集合，要写成集合的形式；

对函数y f(x)：如果没有指明其定义域，那么它的定义域就是指使它有意义的实数的集合；

1：分母不为0；

2：被开方数大于等于0； 有意义

3：0的0次方没有意义；

4：实际意义，如时间，路程都是大于0；

例：求下列函数的定义域；

(x 1)01

（1）f(x) ； （2

）f(x)1； （3）f(x) 2；

2x2 3x 2x 3

01

（4）f(x) 2； （5

）f(x) 3； （6

）f(x) ；

x 2x 13：函数的三要素：定义域、对应法则f、值域（函数值的取值集合）；

函数的值域是由函数的定义域和对应法则f决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等，因此判断两个函数是否相等只需要判断它们的定义域和对应法则是否相同即可；

例：判断下列各组函数是否表示相等函数； （1）f(x) 1和f(x) x0； （2）f(x)

x和f(x)

x2 9

（3）f(x) 和f(x) x 3；

x 3

4：函数表示法：解析法、图像法、列表法；

求函数的解析式：待定系数法和换元法（注意新元的范围）； （1）待定系数法；

例：已知f(x)是一次函数，且满足：2f(2) 3f(1) 5，2f(0) f( 1) 1，求f(x)的解析式； 例：已知f(x)是二次函数，且f(2) 3，f( 2) 7，f(0) 3，求f(x)的解析式；

（2）换元法（注意新元的范围）；

例：已知f(2x) x x 1，求f(x)的解析式；

例：已知f1) x ，求f(x)的解析式；

例：已知f()

2

1x1

，求f(x)的解析式； 1 x

x 1x2 11

) 2 ，求f(x)的解析式； 例：已知f(xxx

5：函数图像和分段函数 （1）几种常见的函数图像；

一次函数：y kx b(k 0)（两点确定一条直线）； 反比例函数：y

k

(k 0)（双曲线）； x

二次函数：y ax2 bx c(a 0)（抛物线）； （2）函数图像的变换：平移变换+翻折变换； 平移变换：左加右减，上加下减；本质是换元法；

左右平移a 0个单位

y f(x) y f(x a) b； 上下平移b 0个单位

向左平移2个单位例：y 2x 4 y 2(x 2) 4 2x 8(将x换成x 2)； 向下平移2个单位y 2x 4 y (2x 4) 2 2x 2；

例：已知y 3x2 2x 6的图像是由y f(x)图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到，试求

y f(x)的解析式；

例：试求函数y 2x2 2x 3到函数y 2x2 2x 7是经过怎样的平移变换； 翻折变换：

1、保留x轴上方的图像；2、将x轴下方的图像关于y f(x) y f(x)x轴翻折上去；3、擦除x轴下方的图像

；

1、保留y轴右方的图像；2、擦除y轴左方的图像；y f(x) y f(x)；

3、将y轴右方的图像关于y轴翻折到y轴左边；

6：函数的单调性：增函数（单调增）、减函数（单调减）； （1）定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；区间D称为函数f(x)的单调增区间；反映在图像上就是，从左到右，图像连续上升；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数；区间D称为函数f(x)的单调减区间；反映在图像上就是，从左到右，图像连续下降；

2

例：已知函数f(x)是区间(0, )上的减函数，试比较f(a a 1)与f()的大小关系；

34

例：已知f(x)是定义在[ 1,1]上的增函数，且f(x 1) f(1 3x)，求x的取值范围；

例：f(x)是定义在(0, )上的增函数，且满足 f(xy) f(x) f(y)； f(3) 1，

)(求：（1）f(0)； （2）：f9；（3）：不等式f(x 2) f(x) 2的解集；

常见函数的单调性和单调区间； 一次函数f(x) kx b(k 0)

当k 0,f(x)在R上是增函数，R为单调增区间 当k 0,f(x)在R上是减函数，R为单调减区间

；

（2）

二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)

b

图像开口向上,在对称轴(x )右边下降(单调减),左边上升(单调增)； 2a

当a 0 f(x)的单调减区间是(- , b]，单调增区间是[ b, ); 2a2a

b 图像开口向下,在对称轴(x )右边上升(单调增),左边下降(单调减)； 2a

当a 0

f(x)的单调增区间是(- , b]，单调减区间是[ b, );

2a2a 反比例函数f(x)

k

(k 0) x

当k 0,图像经过1,3象限，单调减区间为(- ,0)和(0,+ )；不是(- ,0) (0,+ )

当k 0,图像经过2,4象限，单调增区间为(- ,0)和(0,+ )；不是(- ,0) (0,+ )

注意：反比例函数的单调区间要用“和”或“，”分开，不能写成并集（ ）的形式； （3）函数单调性的证明，四步：取值 作差变形 定号 结论； 作差变形方法：分组分解、通分、分子有理化，配方法等；

作差变形的结果一定是几个因式的乘积或比，且必须含有因式(x1 x2)(x2 x1)； 例（分组分解）证明：函数y x 2x 6在[1, )上是增函数；

例（通分）证明：函数f(x) x

例（分子有理化）证明：函数f(x)

例（配方法）证明：函数f(x) x在( , )上是增函数；

（3）函数单调性的性质；

【1】若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，则当k 0时，kf(x)在区间[a,b]上是增函数，当k 0时，kf(x)32

9

在(1,3]上单调减； x

[0, )上是增函数；

【2】若函数f(x)在区间[a,b]上是减函数，则当k 0时，kf(x)在区间[a,b]上是减函数，当k 0时，kf(x) …… 此处隐藏：8080字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……