材料力学第3章-扭转2

材料力学

材 料 力 学Mechanics of Materials钱 勤华中科技大学 力学系

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材料力学

材料力学第三章 扭 转

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扭 转/扭转的概念及外力偶矩的计算 M0

上节回顾

M0 外力偶矩 ——扭力矩

M0

构件特征：等圆截面直杆——圆轴。 受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。 变形特征：纵向线倾斜一个角度 ,称为剪切角(或 称切应变);两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动 , 称为相对扭转角。

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外加力偶矩与功率和转速的关系

上节回顾

60 P(kW) P M0 9.549 (kN m) 2πn(r / min) n扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。 扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负。Tn (+) n n (-)

T

T

T

n

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扭 转/杆受扭时的内力计算

上节回顾

扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。

MA 11

2

MC

MBT1 M A

2

(+) (-) 扭矩图

T2 M C

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三、薄壁圆轴的扭转

材料力学

扭 转/薄壁圆轴的扭转 薄壁圆轴------壁厚远小于其平均半径( t << r0)的空心圆轴。r0 平均半径，t 壁厚

T

T

薄壁圆轴扭转试验 预先在圆轴的表面画上等间距的

纵向线和圆周线，从而形成一系列的格子。

观察到的现象 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。

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扭 转/薄壁圆轴的扭转 (1) A D C A D B

B

C

(2)其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形， 绕轴线产生相对转动。 设想 薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面， 相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动。

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扭 转/薄壁圆轴的扭转

薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移，称为 相对扭

mAB

DC

m

转角 ，用 表示。薄壁圆轴表面上每个格子的直角的改变量，称为 切应变。

(c)A D

用 表示 。

横截面上没有正应力，只有切应力。 且横截面上的切应力的方向是沿着 B 圆周的切线方向，并设沿壁厚方向 是均匀分布的(壁厚较小)。

C

'

'

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扭 转/薄壁圆轴的扭转

T

静力关系切应力

d A r TA

T 2 A0 t

A0=πr02, r0 平均半径，t 壁厚nM0

t c d

几何关系a t b

r0φ l tanγc

a b

r0 M0

小变形条件 c

tanγ γφr0 γ l

n

切应变

d

l

d

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扭 转/薄壁圆轴的扭转

薄壁圆轴纵截面上的切应力

dy dz dx

M

z

0 : (dx dz) dy (dy dz) dx 0

切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线 的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。

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扭 转/薄壁圆轴的扭转 剪切胡克定律 A

C

实验证明：当切应力不超过

材料的比例极限 p 时，切

c B D

应力 即

与切应变

成正比。

G 其中G是材料的剪切弹性模量。

单位：MPa、GPa.

D 且

E G 2(1 )

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扭 转/薄壁圆轴的扭转

剪切胡克定律

G 参考——拉压胡克定律

E φr0 γ l

T 切应力 2 A0 t

切应变

切应力互等定理

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四、圆轴扭转时的应力和变形

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扭 转/圆轴扭转时的应力和变形

研究方法： 实验观察 假设 理论分析 横截面上的 应力分布

1、实验观察T

T

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扭 转/圆轴扭转时的应力和变形

观察到的变形现象(1)A B C D

AB

C 横截面上存在切应力！

D

(2)圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 对转动。 横截面上不存在正应力！

(3)圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。

2、假设——刚性平面假设：即圆轴扭转时横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。