2012年数学一轮复习精品试题第03讲 简单的逻辑联结词

第三讲 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 一 选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的是( )

A.全称命题,对于取值集合中的每一个元素,命题都成立或都不成立

B.特称命题,对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立

C.全称命题的否定一定是特称命题

D.特称命题的否定一定不是全称命题

答案:D

2.命题p:x=π是y=|sinx|的一条对称轴,q:2π是y=|sinx|的最小正周期,下列命题:①p或q,②p且q,③非p,④非q,其中真命题的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:依题意知p真q假,所以① ④为真命题,有2个.故选C.

答案:C

3.(2009·山东淄博高三质检)下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( ) ①所有的素数都是奇数;② x∈R,(x-1)+1≥1;③有的无理数的平方还是无理数.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:命题②是全称命题又是真命题;命题③是特称命题又是真命题;命题①是假命题.故选B.

答案:B

4.(2010·新课标全国)已知命题p1:函数y=2-2在R上为增函数,p2:函数y=2+2在R上为减函数.

则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,真命题是( )

A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4

解析:p1是真命题,则¬p1为假命题;p2是假命题,则¬p2为真命题;

∴q1:p1∨p2是真命题,q2:p1∧p2是假命题,

∴q3:(¬p1)∨p2为假命题,q4:p1∧(¬p2)为真命题.

∴真命题是q1,q4,故选C.

答案:C

x-xx-x2

5.(2010·辽宁)已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是( )

A. x∈R, ax-bx≥ ax0-bx0 B. x∈R, ax-bx≤ ax0-bx0 2222

C. x∈R, ax-bx≥ ax0-bx0 D. x∈R, ax-bx≤ ax0-bx0 2222

解析:设函数f(x)= ax-bx,∴f′(x)=ax-b,由已知可得f′(x0)=ax0-b=0,又因为a>0,2

所以可知x0是函数f(x)的极小值点,也是最小值点.由最小值定义可知选项C正确.

答案:C

6.已知p:

围是( )

A.(-∞,1) B.[1,3] C.[1,+∞) D.[3,+∞)

解析:2x <1,q:(x-a)(x-3)>0,若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范x 12xx 1 -1<0 <0 (x-1)(x+1)<0 p:-1<x<1;当a≥3时,q:x<3或x>a,当a<3x 1x 1

时,q:x<a或x>3.¬p是¬q的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件,即p q且q p,可推出a的取值范围是a≥1.

答案:C

二 填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)

7.(2010·安徽)命题“存在x∈R,使得x+2x+5=0”的否定是________.

答案:对任何x∈R,都有x+2x+5≠0

8.若命题p:关于x的不等式ax+b>0的解集是 x|x ,命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a<x<b},则在命题“p且q”、“p或q” “非p”、“非q”中,是真命题的有________.

解析:依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p且q”为假 “p或q”为假 “非p”为真 “非q”为真.

答案:非p、非q

9.已知命题p: x∈R,ax+2x+3>0,若命题¬p是真命题,则实数a的取值范围是______. 解析:因为命题¬p是真命题,所以命题p是假命题,而当命题p是真命题时,就是不等式ax+2x+3>0对一切x∈R恒成立,这时应有 2222 b a a 0,

4 12a 0

解得a> ,因此当命题p是假命题,即命题¬p是真命题时实数a的取值范围是a≤ . 答案:a≤

10.设有2012个命题p1,p2, ,p2012满足:若命题pi是真命题,则命题pi+4是真命题.已知p1∧p2是真命题,(p1∨p2)∧(p3∨¬p4)是假命题,则p2012是________(填真或假)命题.

解析:“若命题pi是真命题,则命题pi+4是真命题”实质是告诉我们一个命题真假的周期性,即在p1,p2, ,p2012中命题的真假每4个命题一循环,p2012的真假性应与p4的相同,所以我们只需判定p4的真假性即可.

因为p1∧p2是真命题,所以p1,p2,都是真命题,所以p1∨p2是真命题.

又因为(p1∨p2)∧(p3∨¬p4)是假命题,所以p3∨¬p4是假命题,

所以p3和¬p4都是假命题,所以p4是真命题.所以p2012是真命题.

答案:真

评析:本题是一个以年份为数据的“与时俱进型”的创新题,近年,这类题比较“火爆”,请同学们予以重视.本题将函数的周期性迁移到命题的真假问题中,又是一个创新点.由一个复合命题的真假判定其中简单命题的真假,是对命题真假的逆向考查,须仔细分析,谨慎从事.

三 解答题:(本大题共3小题,11 12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

11.已知命题p: x∈[1,2],x-a≥0,命题q:“ x0∈R,x0+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q是真命题,求实数a的取值范围.”

解:由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.

若p为真命题,a≤x恒成立,∵x∈[1,2],∴a≤1.

若q为真命题,即x+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2,

综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1.

评析:先根据p真 q真求出参数a的取值范围,再取其交集即为所求.

12.已知命题p:对m∈[-1,1],不等式a-5a-

恒成立;命题q:不等式222222

x+ax+2<0有解.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.

解:∵m∈[-

∵对m∈[-1,1],不等式a-5a-

,可得a-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1. 222

故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.

又命题q:不等式x+ax+2<0有解,∴Δ=a-

从而命题q为假命题时

∴命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为

-1.

13.设命题p:函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增;q:关于x的方程x+2x+loga =0222

的解集只有一个子集.若p∨q为真,¬p∨¬q也为真,求实数a的取值范围.

解:当命题p是真命题时,应有a>1;当命题q是真命题时,关于x的方程x+2x+loga =02

无解,所以Δ=4-4loga <0,解得1<a< .

由于p∨q为真,所以p和q中至少有一个为真,又¬p∨¬q也为真,所以¬p和¬q中至少有一个为真,即p和q中至少有一个为假,故p和q中一真一假.

p假q真时,a无解;p真q假时,a≥ .

综上所述,实数a的取值范围是a≥ .