化工应用数学 2第二章 数学模型基础

第二章 化工数学模型基础任课老师：程道建 副教授

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本章内容2.1 拟合建模方法2.2 迭代法求解非线性方程 2.3 求解线性方程组 2.3 求微分方程数值解

2.1 拟合建模方法 化工实际问题的提出示例 实验测得二甲醇(DME)的饱和蒸气压和温度的关系(见表),其具体关系是什么样的呢？序号1 2 3 4 5 6 7

温度 ℃-23.7 -10 0 10 20 30 40

蒸气压 MPa0.101 0.174 0.254 0.359 0.495 0.662 0.880

2.1 拟合建模方法

1、线性拟合(一元一次) 给定一组数据(xi, yi),i=1, 2 , …, m ,作拟合直线 p (x)=a + bx , 均方误差为 ： Q(a, b) ( p( x ) y ) (a bx y )m 2 m i 1 i i i 1 i i

2

按二元函数求极值的理论，Q (a , b)的极小值 Q 2[(ax b) y ]x 0 [(ax b) y ]x 0 需满足方程组： a n

n

Q 2[(axi b) yi ]( 1) 0 b i 1

i 1 n

i

i

i

i 1 n

i

i

i

[(ax b) y ] 0i 1 i i

解此联立方程：

2.1 拟合建模方法

2、非线性拟合(一元二次)

给定数据(xi ,yi), i=1, 2 , …, m ,用二次多项式函数拟合这 组数据。 设 p ( x ) a0 a1 x a2 x 2 ,作出拟合函数与数据序列的均方误差表达式Q(a0 , a1 , a 2 ) ( p( xi ) yi ) (a0 a1 xi a 2 xi2 yi ) 22 i 1 i 1 m m

由数学知识可知，Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满足 ：m Q 2 (a0 a1 xi a 2 xi2 y i ) 0 i 1 a0 m Q 2 (a0 a1 xi a 2 xi2 y i ) xi 0 i 1 a1 m Q 2 2 a 2 (a0 a1 xi a 2 xi y i ) xi 0 i 1 2

2.1 拟合建模方法

2、非线性拟合(一元二次) 整理得二次多项式函数拟合的满足条件方程： m m xi 1 im x2 i i 1

x x xi 1 i 1 m i 1 m

m

i

2 i 3 i

m x yi i 1 a 0 i 1 m m 3 x a x y i 1 i i i 1 1 a2 im m 4 2 xi xi y i i 1 i 1 m 2 i

解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数 p ( x )。上式称为多项式拟合的法方程。法方程的系数 矩阵是对称的。当拟合多项式n > 5时，法方程的系数 矩阵是病态的，使用直接迭代法求解线性方程时会发 散，要采用一些特殊算法( Newton迭代法) 。

2.1 拟合建模方法

示例解决1)采用线性拟合(一元一次) :由表的数据观测可得，DME的饱和蒸气

压和温度有正相关关系，如果以函数p=a+bt来拟合,则拟合函数是一条直 线。通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确

定直线方程。Q(a, b) ( p(ti ) pi ) (a bti pi ) 22 i 1 i 1 m m1.0

0.8

拟合得到直线方程为：p0.4 0.2 0.0 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

p 0.30324 0.0121 t

0.6

相关系数R为0.97296, 平均绝对偏差SD为0.0707。

t

2.1 拟合建模方法

示例解决2)非线性拟合(一元二次) : 通过计算下述均方误差Q(a0 , a1 , a2 ) ( p(ti ) pi ) (a0 a1ti a2ti2 pi ) 22 i 1 i 1 m m1.0

拟合得二次方程为压力 , P(MPa)

0.8

p 0.24845 0.00957 t 0.00015 t

0.6

2

0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x2 0.2

相关系数R为0.99972,平均绝对偏差SD为0.00815, 具体拟合曲线见右图。

0.0 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

温度 , t(℃ )

2.1 拟合建模方法

示例解决DME饱和蒸气压和温度之间的 一次线性拟合1.01.0

DME饱和蒸气压和温度之间 的二次拟合

0.80.8

压力 , P(MPa)

0.6

0.6

p0.4

0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x2 0.2

0.2

0.0 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0.0 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

t

温度 , t(℃ )

(相关系数R为0.97296,平均绝对 偏差SD为0.0707)

(相关系数R为0.99972,平均绝 对偏差SD为0.00815 )

结论：通过比较左右图以及各自的相关系数和平均绝对偏差可知，发现对于DME饱和蒸气压和温度之间的关系，用二次曲线拟合优于线性拟合。

2.1 拟合建模方法

3、多变量的曲线拟合

前面介绍的曲线拟合方法只涉及单变量函数的曲 线拟合，但实际在化工实验数据处理及模型参数拟合时 ，通常会碰到多变量的参数拟合问题。一个典型的例子 是传热实验中努塞尔数、雷诺数及普朗特数之间的拟合 问题：

Nu c1Re Prc2

c3

根据若干组实验测得的数据(Nu,Re,Pr),如何求出 式中的参数c1、c2、c3,这是一个有两个变量的参数拟合 问题。

2.1 拟合建模方法

拟合式不是线性的。需要做变换，等式两边取对 数得： ln( Nu) ln(C1 ) C2 ln( Re) C3 ln( Pr ) 对于给定的序列x1i,x2i,yi,i=1,2,3…m,设拟合后的函数形式为：

3、多变量的曲线拟合

p( x) a0 a1 x1 a2 x2均方误差为：Q(a0 , a1 , a2 ) ( p( x1i , x2i ) yi ) (a0 a1 x1i a2 x2i yi ) 22 i 1 i 1m Q 2 (a0 a1 x1i a2 x2i yi ) 0 a i 1 0 m Q 2 (a0 a1 x1i a2 x2i yi ) 0 a i 1 1 m Q 2 (a0 a1 x1i a2 x2i yi ) 0 a i 1 2

m

m

由多元函数极值原理， Q(a0,a1,a2)最小条件为：

2.1 拟合建模方法

3、多变量的曲线拟合 整理得多变量一次多项式函数拟合的法方程 m m x1i 1 im x2i i 1

x xi 1 i 1 m

m

x1i

i 1 m

1i 2 1i

x2i

m x y

2i i i 1 a0 i 1 m m x x a x y 1i 2 i 1 1i i i 1 1 a 2 im m 2 x2 x y i 2 i i i 1 i 1 m

通过求解一元线性方程组就可以得到多变量函数线性 拟合时的参数。

2.1 拟合建模方法

示例解决 根据某传热实验测得如下数据，请用下列方程的形式拟合实验曲线。Nu Re Pr 1.127 100 2

Nu c1Rec2 Prc32.416 200 4 2.205 300 1 2.312 500 0.3 1,484 100 5 6.038 700 3 7.325 800 4

拟合式的形式为： Nu a0 Rea1 Pr a2 拟合式不是线性的。需要做变换，等式两边取对数得：ln( Nu ) ln(a0 ) a1 ln( Re) a2 ln( Pr ) 令:a3 ln(a0 ), 上式写为 : ln( Nu ) a3 a1 ln( Re) a2 ln( Pr )

2.1 拟合建模方法

1)首先对Nu,Re,Pr取对数，得到

示例解决 yi=ln(Nu) 0.119559 0.882113 0.790728 0.838113 7.302496 1.798073 1.991293x1i=ln(Re) 4.60517 5.298317 5.703782 6.214608 4.60517 6.55108 6.684612 x2i=ln(Pr) 0.693147 1.386294 0 -1.20397 1.609438 1.098612 1.386294

2)通过上面公式求解： a0 = 0.022992 a1 = 0.8 a2 = 0.30.8 Nu 0.023Re Pr0.3

2.1 拟合建模方法

多项式拟合 有时实验数据表现为一曲线，相应的拟合函数未知， 需要一种普 …… 此处隐藏：2130字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……