基于加窗DFT的相位差高精度测量算法_江亚群

第10卷 第2期 电路与系统学报 Vol.10 No.2 2005 年 4 月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS April， 2005

文章编号：1007-0249 (2005) 02-0112-05

基于加窗DFT的相位差高精度测量算法*

江亚群， 何怡刚

（湖南大学 电气与信息工程学院，湖南 长沙 410082）

摘要：本文提出一种基于加窗离散傅立叶变换（DFT）的相位差微机高精度测量算法，详细论述算法原理及实现步骤。采用该算法，相位差测量值理论上与信号频率无关，从而不需要跟踪测量信号频率，不需要对信号整周期采样。算法实现简单，计算量较小，精度高，对高次谐波和噪声具有较强的抑制能力，仿真计算和工程应用验证了其可行性和有效性。

关键词：相位差；加窗离散傅立叶变换；余弦窗；测量；微机 中图分类号：TN911

文献标识码：A

1 引言

同频率周期信号的相位差测量在信号分析、电路参数测试、电工技术、工业自动化、智能控制、通信及电子技术等许多领域都有着广泛的应用，如交流电路中阻抗角的计算，电能计量中功率因数角的确定等。

在一些场合，相位差的测量要求有非常高的精度。如，精密微型互感器的两侧相位差通常在0.2°以下，对称负载下同步发电机三相输出电压之间的相位差应在120±0.6°的范围内，正常情况下电容型高压电气设备的介质损耗角小于1°。因此，在对互感器两侧相位差、电机三相电压相位差和电容设备介质损耗角进行测量时，为了保证测试的准确性，相位差测量误差要求不大于0.01°。

相位差的测量方法较多。传统的依靠模拟器件的方法，如矢量法、二极管签相法、脉冲计数法等，测量系统复杂，需要专用器件，硬件成本高。近年来，计算机和数字信号处理技术取得长足进步，相位差测量逐渐向数字化方向发展。数字化测量的优点在于硬件成本低、适应性强，对于不同的测量对象只需改变程序的算法，且精度一般优于模拟式测量。相位差数字化测量方法按实现途径可分为硬件法和软件法两大类[1]。硬件法通过硬件电路测量两个信号的周期及初相位的时间差，由软件将时间差变换为相位差显示，如矢量法、乘法器法及各种鉴相法。软件法对两个信号的瞬时值同时采样，由软件对采样数据进行分析处理，得到相位差的估计值，主要有过零点法、数字相关法、DFT法等[2~6]。当信号受谐波或噪声干扰时，过零点法的相位差测量误差较大；数字相关法有很好的噪声抑制能力，但该方法要求对周期信号实行严格整周期采样，且难以消除谐波干扰。DFT法一般认为也需要严格整周期采样，否则其精度受频谱泄漏和栅栏效应影响；此外，该方法也易受谐波干扰。

本文采用加广义余弦窗的DFT算法测量相位差。对于单频率信号，该算法不需要知道信号的准确频率，不需要整周期采样；当信号中含谐波时，算法通过加适当的余弦窗可基本消除谐波干扰；同时，该算法对噪声具有较强的抑制能力。仿真计算和工程应用都证明，该方法可实现相位差的高精度测量。

2 广义余弦窗

数字化测量相位差，必须先对信号有限化，把无限长的信号限定为有限长，这相当于在时域乘一个窗函数。时域相乘，则频域相当于参与相乘的两个信号各自频谱的周期卷积。因窗函数的频谱函数不是理想的冲激函数，因此卷积的结果，造成所得到的频谱与原频谱不同，会有失真。这种失真最主* 收稿日期：2004-08-20 修订日期：2004-10-13

；教育部高等学校博士学科点专项基金（20020532016）；湖南省电力科技攻关课题 基金项目：国家自然科学基金资助项目（50277010）

；

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要的是造成频谱的“扩散”，即信号原来集中在小范围的能量，扩散到较大的频带内，同时出现许多旁瓣，这就是所谓的“频谱泄漏”现象，它会使测量出现误差。

泄漏误差主要来自两个方面，由信号负频分量引入的长范围泄漏和由窗的扇形损失引入的短范围泄漏[7]。提高DFT分析精度的关键就在于尽可能减小这两种误差，采用性能优良的窗函数可抑制泄漏。加窗的实质就是对被分析信号在不同时刻加不同的权值，以使信号截断的影响尽可能的小。窗的形状和宽度决定了窗函数的特征，对窗函数的要求是：主瓣宽度应尽可能小，旁瓣的衰减尽可能快。

对于周期信号的分析，本文采用广义余弦窗。周期信号除基波分量外，可能还含有整数次谐波分量，对于广义余弦窗，它具有这样的特点：只要选取观测时间是信号周期的整数倍，其频谱在基波和各整数次谐波频率处幅值为零，因而各频率信号分量之间不发生相互泄漏；即使信号频率作小范围波动，泄漏误差也较小。这一特点使得广义余弦窗可有效抑制谐波对相位差测量的影响。

H

2πnh[9]

广义余弦窗窗函数在时域一般可表示为：w(n)=∑ahcos （n=0,1,2"N 1） （1）

Nh=0H表示系数的项数。H=0，a0=1，就是矩形窗；H=1，a0=0.5，a1= 0.5，式中，ah表示组合窗的系数，

是Hanning窗；H=2，a0=0.42，a1=-0.5，a2=0.08，是Blackman窗；H=3，a0=0.35875，a1=-0.48829，

a2=0.14128，a3=-0.01168，是Blackman-Harris窗。当H和ah取其它值时，还可得到其它余弦窗。

较多项数的窗函数能够产生较大的旁瓣衰减，有利于提高DFT计算精度；但窗的项数越多，主瓣宽度也越大，会引起频谱分辨率降低，因此组合窗的项数一般不多于4项。

由式（1），容易推得广义余弦窗频谱表达式为：

N 1H

sin(Nω/2) j21 2πh 2πh jω

e （3） W(e)=∑ah WR ω +WR ω+ （2） 其中，WR(ω)=

2NNsin(ω/2) h=0 将式（3）代入式（2）并简化，得到：

Nω H H

sinω Nω j2 ahjω

W(e)=sin +j∑ah （4） e∑ h=02 h h 2 h=0

sinsin +

2N 2N

工程中常要求窗函数为偶对称函数，即窗函数要具有线性相位特性，则式（4）中应满足：

jω

∑ah=0

h=0

Nω2

H

(H≥1) （5）

jahsin(ω)

∑=W0(ω) e

h h h=0

2sin sin +

2N 2N H

Nω2

Nω j

这样，式（4）可简化为： W(e)=sin e

2

（6）

ahsin(ω) Nω H

其中，W0(ω)=sin 为实偶函数。 ∑

2 h=02sin h sin +h

2N2N

显然，上面提到的Hanning窗、Blackman窗和Blackman-Harris窗均满足式（5），它们的频谱可表示为式（6）形式。

3 相位差的加窗DFT算法

设欲测量相位差的两个周期信号分别为x1(t)和x2(t)。为简单起见，先不考虑信号中的谐波分量，即假设它们均为单频率周期信号，其频率为f0，幅值分别为A1、B1，初相位分别为α1、β1，并分别表示为： x1(t)=A1cos(2πf0t+α1) （7） x2(t)=B1cos(2πf0t+β1) （8） 则它们的相位差为θ=α1 β1。

首先考虑信号x1(t)初相位α1的求取。以采样频率fs（fs>2f0）将x1(t)离散化，得到离散单频率。 正弦信号：x1(n)=A1cos(ω0n+α1)，其中ω0=2πf0Ts（Ts=fs为采样周期）

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