【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10

第44练 函数与方程思想

[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

常考题型精析

题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题

e

例1 已知函数f(x)＝－x＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋x>0)，其中e表示自然对数的底数.

2

2

x

(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；

(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.

点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题.

x＋2，x∈[0，1 ，

变式训练1 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝ 2

2－x，x∈[－1，0 ，

2

且f(x＋

2x＋5

2)＝f(x)，g(x)＝f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )

x＋2A.－5 C.－7

B.－6 D.－8

题型二 函数与方程思想在不等式中的应用

132

例2 已知函数f(x)＝ln x－x＋－1，g(x)＝－x＋2bx－4，若对任意x1∈(0,2)，

44x

x2∈[1,2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围为____________.

点评 不等式恒成立问题的处理方法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.

变式训练2 设f(x)＝ln xx－1. 3

证明：(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；

29 x－1

(2)当1<x<3时，f(xx＋5

题型三 函数与方程思想在数列中的应用

例3 已知数列{an}是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a4＋1成等比数列，设

bn＋其中Sn是数列{an}的前n项和)，若对任意n∈N*，不等式bn≤k恒成

Sn＋1Sn＋2S2n

立，求实数k的最小值.

点评 数列问题函数(方程)化法

数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤： 第一步：分析数列式子的结构特征.

第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.

第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.

第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.

111

变式训练3 已知f(x)＝x－4x＋4，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))， ，fn(x)＝f(fn－1(x))，函数y＝fn(x)的零点个数记为an，则an等于( ) A.2 C.2

n＋1n

2

B.2

n－1

n－1

D.2或2

n

题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用

例4 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为→→轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB. (1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围.

点评 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程. 第二步：求解判别式Δ.

第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.

第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围. 2

，直线l与y2

第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节. 变式训练4 如图所示，设椭圆C1：＋＝1的左，右焦点分别是F1，F2，下顶点为A，线

54段OA的中点为B(O为坐标原点)，若抛物线C2：y＝mx－n(m>0，n>0)与y轴的交点为B，且经过F1，F2两点

.

2

x2y2

(1)求抛物线C2的方程；

4 (2)设M 0，－ ，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P，Q两5 点，求△MPQ的面积的最大值.

高考题型精练

1.若2＋5≤2＋5，则有( ) A.x＋y≥0 C.x－y≤0

B.x＋y≤0 D.x－y≥0

2

xy－y－x

2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(

)

A.[15,20] C.[10,30]

B.[12,25] D.[20,30]

3.满足条件AB＝2，AC2BC的三角形ABC的面积的最大值是________.

4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________.

5.当x∈[－2,1]时，不等式ax－x＋4x＋3≥0恒成立，求实数a的取值范围.

3

2

2

1*

6.(2015·南京模拟)已知函数f(x)＝naln(x－1)，其中x∈N，a为常数.

1－x (1)当n＝2时，求函数f(x)的极值；

(2)当a＝1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f(x)≤x－1.

答案精析

专题10 数学思想方法 第44练 函数与方程思想 常考题型精析

e2

例1 解 (1)方法一 因为x>0，所以g(x)＝x≥2e＝2e，等号成立的条件是x＝e.

2

x

故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，g(x)＝m就有实根.

e

方法二 作出g(x)＝x＋x>0)的图象，如图所示，观察图象可知

2

x

g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e.

方法三 由g(x)＝m， 得x－mx＋e＝0，

2

2

m >0，故 2 Δ＝m2－4e2≥0，

故m≥2e.

m>0，

等价于

m≥2e或m≤－2e，

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点. 因为f(x)＝－x＋2ex＋t－1＝－(x－e)＋t－1＋e，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e.

e2

由题意，作出g(x)＝x＋x>0)及f(x)＝－x＋2ex＋t－1的大致图

2

2

2

2

2

x…… 此处隐藏：6354字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……