《航天制导与控制基础》作业2014

航天制导与控制基础复习资料

参考资料：【1】卫星轨道姿态动力学与控制，章仁为，北京航空航天

大学出版社。

【2】航天器控制原理，周军，西北工业大学出版社。

第二章 作 业

一、设刚体B相对某参考坐标系的姿态可用方向余弦阵A表示，角

速度矢量为 ，试证明： (1) AAT=E (2) A =1 (3) dA/dt = - A

证明：设

A11

A A21

A31

A11

(1) AAT A21

A31

A12A22

A32

A13 A11

AA23 12A33 A13

A21A22

A23

A12A22A32A31 A32 A33

222A21 A22 A23

A13

A23 A33

222

A11 A12 A13

AAT A21A11 A22A12 A23A13

A31A11 A32A12 A33A13

A11A21 A12A22 A13A23A31A21 A32A22 A33A23

A11A31 A12A32 A13A33

A21A31 A22A32 A23A33

222 A31 A32 A33

根据A阵的性质，可知

100

AAT 010

001

(2) 由于方向余弦阵A描述的坐标系皆为右手正交坐标系，由此可以验证（代入

变换矩阵公式即可验证）

AT= A*

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又由于

AT= A-1

因此，由

A-1= A*/ A

可以推知

A =1

(3) 令姿态相对参考坐标系的转速为 ，转轴为e，则 = e。如在t时刻姿态

矩阵为A(t) ，在t+ t时刻为A(t+ t)。如用A 表示姿态的变化，则有

A(t+ t) =A A(t)

利用Euler轴/角与姿态矩阵间的转换关系，可以写出

A cos I (1 cos )eeT sin e

当 t 0时，

A I t

因此，有

A(t+ t) = A(t)- t A(t)

dA/dt lim

t 0

A(t t) A(t)

= - A(t)

t

二、试推导方向余弦阵与Euler轴/角间的转换关系。

解：设转轴为e，转角为 ，对任意矢量a，旋转后所对应的矢量为a ，如图1所示。

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e

图1

定义 则

u

e a1

e a e aasin

(1) (2) (3) (4) (5)

v e u

u' cos u sin v

a' acos e asin u'

将式(1)~式(3)代入式(4)可得，

a' (1 cos )(e a)e cos a sin (e a)

参考坐标系轴xr经欧拉转动得出对应的本体坐标轴xb，则

xb (1 cos )(e xr)e cos xr sin (e xr)

(6)

根据姿态矩阵的定义，将本体系各轴按式(6)展开并代入，可得

2

cos ex(1 cos )exey(1 cos ) ezsin exez(1 cos ) eysin 2

A(e, ) exey(1 cos ) exsin cos ey(1 cos )eyez(1 cos ) exsin

2 exez(1 cos ) eysin eyez(1 cos ) exsin cos e(1 cos )z

cos I (1 cos )eeT sin e

由上式可得

Ayz Azy

1 e A Azxxz

2sin

Axy Ayx 1

cos [trA 1]

2

证毕。

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三、设固连于某刚体的坐标系Oxyz相对参考坐标系OXYZ的姿态可

用2-3-1Euler角描述，。

(1) 试画出两个坐标系的相对旋转关系； (2) 试求出对应的姿态矩阵及其逆矩阵；

(3) 试推导以2-3-1Euler角描述的姿态运动学方程。

解：(1) 假设从坐标系Oxyz到坐标系OXYZ经过三次旋转：

绕Oxyz 的Oy轴旋转角度 ，得到坐标系Ox1y1z1；

绕坐标系Ox1y1z1的Oz1轴旋转角度 ，得到坐标系Ox2y2z2； 绕坐标系Ox2y2z2的Ox2轴旋转角度 ，得到坐标系OXYZ； 相对旋转关系如下图所示：

Y''

X

X'

'

(2)经过“2-3-1”旋转，就可以完成Oxyz到OXYZ的转化，变换矩阵R为：

00 cos sin 0 cos 0 sin 1

sin cos 0 0 R 0cos sin 10

01 0 sin cos 0 sin 0cos

cos cos sin sin cos

cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin

cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos 因为变换矩阵R是正交矩阵，因此：R 1 RT。 (3)

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R( )[ 3 R( ) 2]} 231 R1( ){ 132

0 1

0cos 0 sin

0 cos

sin 0 sin

0 0cos

sin

cos 0

0 0 cos 0 0 0 sin 1 sin cos 0

0 0 0

1 0

0 sin 0

10

0cos 0

10

0 0cos 0

0 sin 0 0 cos

sin 0 sin

0cos

sin

sin cos cos cos sin cos

四、试写出描述刚体绕固定点转动的Euler方程，并分析在什么情况

下，可以使三轴运动解耦。

解：刚体绕固定点转动的Euler方程式(1)所示

Jω ω Jω M

当体坐标轴与惯性主轴重合时，上式可写为：

Jx

x (Jy Jz) y z Mx

J y (Jz Jx) y z x My Jz

z (Jx Jy) y x Mz

显然，当Jx Jy Jz时，三轴运动解耦。

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第四章 作 业

一、证明在仅有二体引力的作用下，航天器机械能守恒。(参见讲义P33)

【周军p22】

证明：设r为二体之间的位置关系矢量，根据二体问题的力学方程，可得到如下关系式：

r 3r 0

r

0与上式点乘，可得： 用r

r 0 rr 3r

r

aa ，故上式可写为： 根据矢量运算法则a a

0 rr 3rr

r

对上式进行积分，可得

2 r

C 2r

由上式可知航天器的机械能守恒。 证毕。

二、证明在二体问题中，航天器的运动轨道始终处于空间中的一个固

定平面内。(参见讲义P32) 【章仁为p2】

证明：在地心第一赤道坐标系中，航天器运动方程为：

xr3 y 3 y

r z 3z

r

x

将上式的第二方程乘以z减去第三个方程乘以y，可得：

z y 0 yz

即

z z y A y

同理可得：

z B x xz

y y x Cx

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其中，A，B，C 是积分常数。进一步整理，可以得到：

Ax By Cz 0

故航天器在一个平面内运动。 证毕。

三、证明开普勒第二、第三定律。

证明：首先证明开普勒第二定律。【章仁为p3】

由上图，可以写出三角形OBB 的面积为

1

A rr sin

2

因此，有

A1sin 1 sin rr rr t2 t2 t

进而可得

lim A lim1rr sin 1r2 1h A

t 0 t t 02 t 22

上式表明，航天器在单位时间扫过的面积是相等的。

下面证明开普勒第三定律。【章仁为p5】 由于

2 ab

h

这里 ab是整个椭圆的面积，T为周期。因为轨道是椭圆轨道，可得：

T

b a2 c2 a2(1 e2) aph p

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