高中数学必修四 任意角的三角函数(人教版课件)

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1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？P c

sin

a

cos tan

O b M

a c b c a b

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2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？

其中 : OM a MP b OP r a b2 2

MP b sin OP rOM a cos OP r

y

﹒P a, b

o

﹒

MP b tan OM a

M x

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诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置，这三个比值会改变吗？yP(a,b)P

OMP ∽ OM P MP sin OPOM cos OP

﹒M

O

M

x

M P OP OM OP

MP tan OM

M P OM

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1.锐角三角函数(在单位圆中)

若OP r 1 ,则以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆. y

P( a, b)1 O M

MP sin OPx

b

OM cos OP

a b MP tan OM a

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2.任意角的三角函数定义设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )

y 叫做 那么:(1)

的正弦，记作 sin ,即 sin y ; (2)x 叫做 的余弦，记作 cos ,即 cos x ; y y tan (3) 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)xxy

P x, y

﹒O

A 1,0 x

所以，正弦，余弦，正切都是以角为 自变量，以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，我们将他们 称为三角函数.

使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

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说 明(1)正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点

的终边 yP ( x, y )

xA(1,0)

o正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标，横坐标的比值. (2) 正弦、余弦总有意义.当

y 横坐标等于0,tan 无意义，此时 k ( k z ). x 2

的终边在 y 轴上时，点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

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5 例1.求 3

的正弦、余弦和正切值.

实例

剖析

5 ,易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 3的终边与单位圆的交点坐标为 5 5 3 5 1 3. , cos , tan 所以 sin 3 2 3 3 2 7 5 y 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 5 sin , 6 2 3 ﹒ o A x 7 3 cos , 6 2 ﹒B 7 3 t an 6 31 3 ( , ). 2 2

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例2.已知角 的终边经过点P0 ( 3, 4) ,求角 的正弦、余弦和正切值 .解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) , M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、OP0 ( 3) 2 ( 4) 2 5.y

M0

M

M 0 P0 4

OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0

MP y OM x

OP x, y

x

P0 3, 4

M0P y | MP | 4 0 sin y ; 于是， 1 OP OP 5 0 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan . x cos 3

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定义推广

:设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点， 点 P 与原点的距离 r

x 2 y 2 0.

y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y x 0 tan ③ x 叫做 的正弦，即 x

任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

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巩固

提高

练习: 1.已知角 的终边过点 P 12,5 ,

求 的三个三角函数值.解：由已知可得：

r x y 2 2

12

2

5 132

y 5 x 12 于是，sin , cos r 13 r 13 y 5 tan x 12

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2.已知角 的终边上一点P 15a,8a a R且a 0 , 求角 的sin ,cos , tan 的值.解：由于x -15a, y 8a,所以r

15a

2

8a 17 a a 0 2

1 若a 0则r 17a, 于是8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15

2 若a 0则r -17a, 于是8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15

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3.已知角 的终边在直线y 2 x上，求角 的sin ,cos , tan 的值.

解： 1 当角 的终边在第一象限时，在角 的终边上取点 1, 2 ,则r= 12 22 52 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5

2 当角 的终边在第三象限时，在角 的终边上取点 1, 2 ,则r

1 2 52 2

2 2 5 1 5 2 sin ,cos , tan 2 5 5 1 5 5

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探 究

1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 (弧度制)三角函数 定义域

cos tan

sin

RR k (k Z ) 2

2.确定三角函数值在各象限的符号y ( +) + o x ( - )( - )sin

y ( - )( +) o x ( - )( + ) cos

y ( -) ( + ) o x ( +) ( - )tan

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三个三角函数在各象限的符号y sin ry + +

x cos rx

y

y tan xy+ o + - x

+ + x

o

-

-o

y

sin 全为+tan

记法：一全正 二正弦 三正切 四余弦

o

cos

x

心得:角定象限,象限定符号.