对号函数在数学解题中的应用

函数问题的解答

对号函数在数学解题中的应用

在求函数的最值或值域时，有些函数不能用均值不等式，主要是由于等号不成立，而用单调性又难以判断与证明。掌握对号函数的性质，使这类题目在解题中显得简便而准确。

函数y ax

bx

（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似

bx

ba

符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，ax

bx

ba

2

（当且仅当ax R+）的性质: 当x

ba

即x 时取等号），由此可得函数y ax

bx

（a>0,b>0,x∈

时，函数y ax

bx

（a>0,b>0,x∈R+）有最小值2

bx

ba

，特别地，当

ba

a=b=1时函数有最小值2。函数y ax

ba

（a>0,b>0）在区间（0，）上是减

函数，在区间（，+∞）上是增函数。

bx

因为函数y ax

-

（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数y ax

bx

（a>0,b>0,x∈R）的性质： 当x

ba

时，函数y ax

bx

（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-2

bx

ba

，特别地，当

ba

a=b=1时函数有最大值-2。函数y ax

ba

（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上

是增函数，在区间（-，0）上是减函数。

利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数y 解：令t

y

t 1t

2

x 2x 4x 2x 3

2

2

的最小值。

2

x 2x 3，则t

1t

2

(x 1) 2 2

t

函数问题的解答

根据对号函数y t 在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当t 2时y

t

1

有最小值

322

。此时x=-1.

2sinx

(x k ,k Z)的单调区间，并求当x (0, )时函数的

2、求函数y sinx 最小值。

解：令t=sinx,对号函数y t 是增函数，所以y sinx

2

2t

在（0，2）上是减函数，故当x (0,]时sinx

2

sinx

22(, )上是增函数，由于函数y sinx 是奇函数，所以函数y sinx 2sinxsinx

2在( ,0)上是减函数，在( , )上是增函数，由周期性，函数y sinx

22sinx

sinx

在(0,]上是减函数。同理，y sinx

2

2

在

在每一个区间(2k

(2k ,2k (2k

2

,2k )(k Z)

上是减函数，在每一个区间

2sinx

2

)(k Z)

上是减函数；函数y sinx 在每一个区间

3 2

)(k Z)

2

,2k )(k Z)上是增函数，在每一个区间(2k ,2k

上是增函数。当x (0, )时t (0,1]，当t=1时即x 3、求函数y 2x

3x

2

时y有最小值3。

的单调区间，并用函数单调性定义证明之。

3x

解：利用对号函数性质，容易得出函数y 2x

62

62

的单调递增区间是

62

（-∞，-62

），（，+∞），函数的单调递减区间是（-62

，0），

（0，）。下面只证明在区间上（0，

62

）是减函数的情形：

3x1)

设任意的x1,x2 （0，

x2 x1x1x2

）,且x1 x2，f(x1) f(x2) 2x1

3x1x2

2x1x2 3x1x2

(2x2

3x2

)

=2(x1 x2) 3()=(x1 x2)(2

) (x1 x2)(

因为x1,x2 （0，

62

）,且x1 x2，所以x1 x2 0,2x1x2 3 0

函数问题的解答

(x1 x2)(

2x1x2 3x1x2

) 0

即f(x1)-f(x2)>0

所以f(x1)>f(x2)，f(x) 在区间上（0，

62

）是减函数.