经济学微积分级数

北京理工学大微分积(三版第)习课题02214月2年2

日n 1 n u 1 n 1 un 1 n u n 1 1 n 12

n 1 2, , n 1, 2,

n1 1 2 1 n 0 ,1, n 2

达 贝朗比尔值法un 1li nm u n l 1, 收 l l , 1发实(际上致了导 im ln 0) n l 1 ,单讨论独当(n 为连时) 乘 西柯值法根 l 1 收 , nu l l , 发(1 当 为n次方某时 )lmi nn n l 1, 单独讨论

比 较别判①法代数式 :un vn vn收敛 n收敛u un发，散 v 发散 n n1 n 1 n 1 n 1 u n②极 限式:lim A, 中： un其和 v n都正项级是数 。 n 1 n vn 1 n

A 0 un v n v收n敛 un收敛， u 发散n vn发 。散 1 n n1 n 1 n 1

A 0 un vk n un和 v n散敛相同。性n 1 n 1

A v n u n n收u 敛 v n敛收 , vn散发 un散发。n 1 n 1 n 1n 1

应 技巧 用收大小，收发小发，同大阶敛散。

同

看 先lmi n u0是否成 立。 n

判 别正级数项敛的一收般路思：(1如)不成，则立发散 (,2如成立，)根则据数通级项特的点虑比值法考或根法，值如果 值比法根值或法极的不限求易出等或1, 于使用则较法比或其极限形。式 较法的极比限形是式核方法心。比较中法重要的是最到合适的找准级基。数主要技 有巧对原：级通数放项，同缩无穷小

阶参考原：

则

凡是由朗达贝尔值比给法出收的性敛结由柯论西值根法可 以给必出同相的结论；反之却一不定。【例1讨】级数 论n 1 2 1 2n

n 的敛性。收解：根据达贝朗比尔法，值有 limn 2 1 2n 1

n1

1 iml极限 存不在，无法断收判敛；性n nn 2 1 2 2 1 2

n

2 1 n 1

根据西根柯法，有值 2 1 l i mn 2n

n 1n11 nil m 2 1 n , 原数收敛级。 2 n 2

1可见，柯西值法根敛审精度高。

级敛散性数判定的型模和准模型基1 敛,收 p 1a p n发散, p 1收敛, p 1x b p n nl n 发散 , 1 1 lnp 2n 敛, 收 p1 c p n 发,散 p1 常常用作基准收的敛数级要有主2:个

n

11 0 ;1 nln 2.n常常作用基准发的散级数3有：

个

n1

1

0 ; ;nl nn

11

n2n

ln

n 2 1 的 敛收 【性例】讨2论数 3级n n 12nn n 2 1 n2 21 :解为0因 3 3nn22 n 1 2 1 3n 1 il nm n 2 2 1 n n3 该级数故敛。收 n1

n

n

2 1 1 2 1 li m 1 1 n 3 n 32

【例】讨论3数级

n1 1

n 1n 11n

收敛性的1 【4例】讨论级 数 的收 性 l敛n n ! n 2 解： l1n n ! 11 1 nlnn n

:解an

1

n1故该级数 散。发 1 n o nn n1 nl kk 1 n

该故级数发散。

例【 5】

arcan tn l(n2n)

;n 1

)0( artac nn 2 1 1, n uim l 解n∵ lim: nn n n l n2l n 2( n l2

) ∴

artcna (ln2nn)发散

n .

1【例6】 il m10 1ilm1 0 x nlx n n l n n l n nn x x lm i l im9 x 10 n lxx 10 89 l2mi101

n

x发散, 原级∴发散数用必达洛法

则

【7例讨】级数论 n 1

n2n

na n b n b

an的收敛性解： an 2nn

n a n b n bn a

1 1 a b 1 原级数 敛 收 o n b n a n 2 o a b n n a b 1 原数级发散例【8】

等价无穷小的量应用如能利用价无等穷小手等段计出估级数一项的阶般次 ，选用的比基准较级形式就很容易确数定。级如

数 n2

1 n 11 n 11 2 2 2 l n u n n l nl 1 ~ ~3 nn 1 nn 1 n n 1 n n 1 2n可直选用接准级基

数n

11n 3 2就知原可数级收敛。例9【】讨论级解数： n 1 11 的 敛性 ln 2收 isn n

1 21 l 2n si n ln n n 故该 级数散。发

an

1~

1

1ln 2 n

【

1例0

【】例11

n】1 n

1

si

n n

2解对级 的数项先作通分析 ： 221 2 2 n , 时in 当 ~s, 而 从sin n~n nnn 1 22s ni n n n ,2 而 发1, ∵ 散iml li m n1 n n 1 n 1 nn 2 1∴ sni 发散 n .n1 n

.【例 12】

21 n 42 nl 3n n 1 n 3 2 , 解：∵l m ilim1 n n 1或级对数的通先作项分析n: 22 2当 n时 3, 3~ l, n l (1 n ) ~, nn n n 1 n 11 2 n2 ln从而 3 ~ . 4而 1 收， 4 敛 nn1 3 n n 1n 34 3n4 n3

n 2 3n l1 nnn 1 1

1

n 2 ∴ ln 收 敛 . 3n 1 nn1 1