高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛试卷

高中数学竞赛试题（模拟）

一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )

A． x 9x 12 2.有四个函数：

① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①

3.方程x2 x 1 x x

2

2

B．x 9x 12

2

C． x 9x 12 D． x 9x 12

22

sinx

cosx

2

)上为单调增函数的是 ( )

B．②

1

C．①和③ D．②和④

(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所

C．2

D．4

有元素的平方和等于 ( ) A．0 B．1

4.已知点P(x,y)满足(x 4cos )2 (y 4sin )2 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为 A．36π B．32π C．20π D．16π ( )

5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A．9 B．12 C．15 D．18 6.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于 ( ) A．80

7.已知曲线C：y A．( 2 1,2)

B．40

C．24

D．-48

x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是 ( )

B．( 2,2 1)

C．[0,2 1)

D．(0,2 1)

8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为 ( ) A．

Smax

Smin

3 2

B．

6 2

C．

2 3

D．

26

3

9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．x<y<z

B．y<z<x

2

7，则x、y、z的大小关系为 ( )

C．z<x<y

2

D． z<y<x

10.如果一元二次方程x 2(a 3)x b 9 0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )

高中数学竞赛试卷

A．

1 18

B．

1 9

C．

1 6

D．

13 18

二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）

x2y2

1上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆

169

|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.

12.已知△ABC中， , ，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.

13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为

34

，则35

n=__________.

14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.

三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)) x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}

B {x|f[f(x)] x}.

(1). 求证：A B

(2).若f(x) ax2 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.

16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？

17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有 an 1 1

1

an

18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.

(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|的最小值的集合.

7. 25