非线性回归模型的线性化

第4章 非线性回归模型的线性化（1）多项式函数模型 （2）双曲线函数模型 （3）对数函数模型 3 对数函数模型 （4）生长曲线 (logistic) 模型 （5）指数函数模型 （6）幂函数模型第4章 非线性回归模型的线性化有时候变量之间的关系是非线性的。 有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性 但可以通过适当的变换，转化为线性模型， 的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性 回归模型的估计与检验方法进行处理。 回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化 的非线性模型。 的非线性模型。 以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。 以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可 采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难， 采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机 的出现大大方便了非线性回归模型的估计。 的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计 算变得非常容易。 算变得非常容易。yt = α 0 + α1 x t β1 + ut yt = α 0 e α1 xt + ut下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。 下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。(1)多项式函数模型(1) 多项式函数模型一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令xt 1 = xt，xt 2 = xt2，xt 3 = xt3，上式变为 yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 这是一个三元线性回归模型。 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的 总成本与产品产量曲线与左图相似。 总成本与产品产量曲线与左图相似。( b1>0, b2<0, b3>0)(b1<0, b2>0, b3<0)总成本函数的估计TC = β 0 + β 1Q + β 2 Q 2 + β 3 Q 3 + uCQ Q = 0, TC > 0 ∴β0 > 0TCMC = β 1 + 2 β 2 Q + 3β 3 Q 2Q Q = 0, MC > 0 ∴ β1 > 0Q 二次函数有极小值的条件：二阶导大于0 ∴β3 > 0QQ当Q = ? β 2 / (3β 3 )，MC取最小值 ∴β2 < 0(1)多项式函数模型(1) 多项式函数模型例4.1：总成本与产品产量的关系 ：yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut(1)多项式函数模型(1) 多项式函数模型例4.1：总成本与产品产量的关系 ：? C t = 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3(1.8) (12.0)(-2.8)(9.6)R2 = 0.9998, N = 15案例1 案例1：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003） ）案例1 案例1：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003） ）从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。 从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。 Loant = β0 +β1 GDPt + β2 GDPt 2 + β3 xt3 + ut∧loan t = -24.5932 +1.6354 GDPt - 0.0026GDPt 2 + 0.0000027 GDPt 3(-2.0) (11.3) (-6.3) (7.9)R2=0.9986, DW=2.6(1)多项式方程模型(2) 多项式方

程模型( b1 < 0, b2>0) 另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令xt 1 = xt，x t 2 = xt 2，上式线性化为， 上式线性化为， yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut(b1>0, b2 <0)如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。(1)多项式方程模型(2) 多项式方程模型例4.1：平均成本与产品产量的关系 ：? Ct = 105.1- 0.06 xt + 0.00006 xt2 xt(42.5) (-8.7)(12.8)R2 = 0.97, N = 15(2) 双曲线函数模型yt = a + b/xt + ut1/yt = a + b/xt + ut1/yt = a + b/xt + ut 或 yt = 1/ (a + b/xt + ut)令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式， 已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式， 另一种表达方式yt = a + b/xt + ut上式已变换成线性回归模型。 令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut 上式已变换成线性回归模型。案例2 炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X 案例2：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系建立线性模型并估计 y = 7.85 + 0.27 x (19.6) (5.7) R2 = 0.71, N = 15建立对数模型并估计 y = 6.16 + 1.83 Lnx (16.0) (10.1) R2 = 0.89, N = 15案例2 炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X 案例2：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系双倒数线性化双倒数模型建立倒数模型并用1～ 组数据估计 组数据估计， 建立倒数模型并用 ～14组数据估计， 1/y = 0.081 + 0.1339 (1/x) (42.1) (14.1) R2 = 0.94, N = 15倒数模型的估计结果最好。 倒数模型的估计结果最好。(3) 对数函数模型574(b > 0)6 5(b < 0)342312 1 50 100 150 200 250 300 350 4000 50 100 150 200 250 300 350 400yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0)yt = a + b Lnxt + ut , (b < 0)令xt* = Lnxt, 则 yt = a + b xt* + ut 变量y 已变换成为线性关系。 变量 t 和xt* 已变换成为线性关系。案例3： 个省市自治区 个省市自治区1985～2005年城镇居民 案例 ：28个省市自治区 ～ 年城镇居民 人均食品支出（ 人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系 ）与人均收入（ ）5000 FOOD 40008.0 9.0 LOG(FOOD) 8.530007.5 7.0 6.520001000 INCOME 0 0 4000 8000 12000 16000 200006.0 LOG(LOG(INCOME)) 5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.3028个省市自治区 个省市自治区1985～2005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系 年城镇居民人均食品支出（ 个省市自治区 ～ 年城镇居民人均食品支出 ）与人均收入（ ）(4) 生长曲线 (logistic) 模型yt =k 1 + e f ( t ) + ut=k 1 + e a ?bt +ut美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学 美国人口统计学家 和 广泛研究了有机体的生长， 广泛研

究了有机体的生长 模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生 模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线， 曲线） 曲线 长发育过程。其中k和0分别为 t的上限和下限。 长发育过程。其中 和 分别为y 的上限和下限。 分别为Limyt = k ,t →∞Limyt = 0t →?∞a, b 为待估参数。曲线有拐点，曲线的上下两部分对称于拐点。 为待估参数。曲线有拐点，曲线的上下两部分对称于拐点。(4) 生长曲线 (logistic) 模型为能运用最小二乘法估计参数 a, b，必须事先估计出生曲线长上极限值 k。 ，必须事先估计出生曲线长上极限值 。 线性化过程如下。当上极限值 给定时，作如下变换， 线性化过程如下。当上极限值 k 给定时，作如下变换，k = 1 + e a ?bt +ut yt移项， 移项，? k ? k ?1 = e a ?bt +ut ，取自然对数， Ln? 取自然对数， ? ?1? = a ? bt + u t ? yt ? yt ? ? k ? ? 1? ，则 ? ? yt ?令 y t * = Ln? ?yt* = a – b t + ut此时可用最小二乘法估计 a 和 b。 。(4) 生长曲线 (logistic) 模型案例4：非典数据（ 案例 ：非典数据（2003-5-1～2003-5-28） ～ ）案例5： 生长曲线模型） 案例 ：钉螺存活率曲线（生长曲线模型）把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存活个数， 把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存活个数， 计算存活率。数据见表。 计算存活率。数据见表。yt,存活率 (%) 100.0 93.0 92.3 88.0 84. 82.0 48.4 41.0 15.0 5.2 3.5 1.3 0.5 t,土埋月数1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Y 80604020 T 0 0 2 4 6 8 10 12设定y 的上渐近极限值k 设定 t的上渐近极限值 =101（因为已有观测值 t （因为已有观测值y =100，所以令 =101更好些。），得估计结果如 更好些 …… 此处隐藏：5494字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……