1复变函数概念2极限连续3解析函数概念

第二讲

复变函数与解析函数

§5 复变函数

1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射

1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义 设G是 一 个 复 数 x iy的 非 空 集 合 存 在 法 则 z , f , 使 得 z G , 就 有 一 个 或 几 个 u iv与 之 对 应 w , 则称复变数 是复变数 的函数(简称复变函数 w z ) 记 作 w f ( z ).

若z 一个w值，称f ( z )是单值函数;z 多个w值，称f ( z )是多值函数.今后无特别声明，所讨 论的函数均为单值函数 。

G — f (z )的定义集合，常常是平 面区域(定义域)

G* {w w f ( z ) , z G}—函数值集合(值域) z x iy ( x , y ); w u iv ( u, v ) w f ( z ) f ( x iy ) u( x , y ) iv( x , y )

故 u u( x, y ) v v( x, y )

w f ( z ) u iv u u( x , y ) v v( x , y )

例1 w z

2

令z x iy w u iv2 2 2

则 w ( u iv) ( x iy) x y 2 xyi w z u x y2 2 2

v 2 xy

1 1 iy 1 2 例2 若已知 f ( z ) x 1 2 2 2 x y x y 将 f ( z )表示成 z 的函数.

1 1 设z x iy, 则x ( z z ), y ( z z ) 2 2i 1 f (z) z z

2. 映射的概念

——复变函数的几何意义

在几何上， w=f(z)可以看作：z G ( z平面) w f w G * ( w平面)的映射变换). (z) (

定义域

函数值集合

称w为z的象点 映象),而z称为w的原象。 ( (z) (w) y vw=f(z) G* G

zo

w=f(z)w

x

o

u

复变函数的几何意义是一个映射(变换)

在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.

以下不再区分函数与映射(变换)。

例3 研究w z 所构成的映射. 解 设z r (cos i sin ) re i z re i —关于实轴对称的一个映射

见图1-1

y

(z)

vo

(w)

o

x图1-1

u

例5 y

研究w z 2 所构成的映射 .

(z)

vw z2

(w)2

o y

x

o

u

(z)w z2 w z2 6 x

v

(w) 3

o2

x y 42

w z

2

o

u

3. 反函数或逆映射例 设 z=w2 则称 w z 为z=w2的反函数或逆映射 w z 2 k z e 2 (k

0,1) ∴为多值函数,2支.

定义

设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*(z) z G w f w G *

一个(或几个)z G ) w G * z ( w 则称z= (w)为w=f(z)的反函数(逆映射).显 然有 w f [ ( w )] w G * 当 反函 数单 值 时z [ f ( z )] z G (一般z [ f ( z )])

当 函 数(映 射) w f ( z )和 其 反 函 数 逆

映 射) ( z ( w )都 是 单 值 的 ， 则 称 函 数 射) w f ( z ) (映 是 一 一 的 。 也 称 集 合 与 集 合G 是 一 一 对 应 的 。 G

例 已知映射w=

z3

在平面w上的象。 ,求区域 0<argz< 3

1 例 已知映射 w , 判断 : z平面上的曲线 x 2 y 2 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线?

§6 复变函数的极限与连续性

1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性

1. 函数的极限定义 设 w f ( z ), z U ( z , ), 若存在数 ， 0, A 0 ( ) 当 0 z z0 时, 有 f ( z ) A , ,(0 )

则称A为 f ( z )当z z0时的极限，记作lim f ( z ) Az z0

或当z z0时，f ( z ) A

y

(z)w f (z )

v

(w) A

z0

o

x

o

u

几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中

(1) 意义中 z

z0 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.(3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.

2. 运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1

设f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ) z x iy z0 x0 iy0则 lim f ( z ) A u0 iv0 ( x , y ) ( x0 , y0 ) z z0 lim v ( x , y ) v0( x , y ) ( x0 , y0 )

lim

u( x , y ) u0

必要性 : 如果 lim f ( z ) A,根据定义，当z z0

0 | z z0 | ( x x0 ) ( y y0 ) 2 2

时，则有| f ( z ) A | | (u iv) (u0 iv0 ) | (u u0 ) 2 (v v0 ) 2

所以，当0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 时，有

x x0 y y0

| u u0 | lim u ( x, y ) u0 ,

x x0 , y y0

|v-v0 | lim v( x, y ) v0