高考数学二轮总复习专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的

数学

高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用

班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )

1

A. 32C. 3解析：

1B.2D．1

y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即2x＋y－2＝0

y＝x由

2x＋y－2＝0

2 x＝ 3得 2

y＝ 3

22

，A ，

33121S△ABO＝＝233答案：A

2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1)

B．(－1，＋∞)

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C．(－∞，－1)

解析：f(x)>2x＋4，即f(x)－2x－4>0.

D．(－∞，＋∞)

构造F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－2>0.

F(x)在R上为增函数，而F(－1)＝f(－1)－2x(－1)－4＝0.x∈(－1，＋∞)，F(x)>F(－1)，∴x>－1.

答案：B

3．(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a＝ (sinx＋cosx)dx，则(a－

π

1 0

的

6

二项展开式中含x2的系数是( )

A．192 C．96

π

B．－192 D．－96

解析：因为a＝ (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| π0＝

0

(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(ax－

1x

)6＝

r 2－166－r6－rrr6－r3－r ，则可知其通项Tr＋1＝(－1)rCrx(－1)C62x，令3－r＝262

22 r＝1，所以展开式中含x2项的系数是(－1)rCr626－r＝(－1)1C1626－1＝－192，故答案选B.

答案：B

17

4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(4)的大小

22关系为( )

A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)<f(4) C．f(

－a)≥f(4)

D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定

2

17

解析：∵f(x)＝x3－x2x，

22

数学

37

∴f′(x)＝x2－2x－.

22

17

由f′(x)＝－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x.

23当x<－1时，f(x)为增函数； 7

当－1<x<f(x)为减函数；

37

当x>f(x)为增函数，

3

计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a≤0，由图象可知 f(－a2)≤f(4)． 答案：A

5．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x3＋bx2－3x＋1(b∈R)在x＝x1和x＝x2(x1>x2)处都取得极值，且x1－x2＝2，则下列说法正确的是( )

A．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极小值 B．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极大值 C．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值 D．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极大值

解析：因为f(x)＝x3＋bx2－3x＋1，所以f′(x)＝3x2＋2bx－3，由题意可知f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，即x1，x2为方程3x2＋2bx－3＝0的两根，所以x1－x2x1＋x22

2

－4x1x2

4b2＋36＝，由x1－x2＝2，得b＝0.从而f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x

3－1)，由于x1>x2，所以x1＝1，x2＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，所以f(x)在x1＝1处取极小值，极小值为f(1)＝－1，在x2＝－1处取极大值，极大值为f(－1)＝3.

答案：B

π1＋sinx1

6．(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x1，x2∈(0)，x2>x1，y1，

2x1

1＋sinx2

y2＝，则( )

x2

A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1<y2

D．y1，y2的大小关系不能确定 解析：设f(x)＝

1＋sinxxcosx－sinx－1

f′(x)＝ xx2

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＝

cosxx－tanx2x－1π

.当x∈(0，时，x－tanx<0，故f′(x)<0，所以f(x)在(0，

2

π

上是减函数，故由x2>x1得y2<y1. 2

答案：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 7．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值． 解析：由f′(x)＝3x－6x＝3x(x－2)＝0，解得x1＝0，x2＝2 当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0. ∴当x＝2时，f(x)有极小值是f(2)＝2－3×2＋1＝－3. 答案：2

24

8．(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项为a4＝ (1

3 1

＋2x)dx，则公比等于________．

24243

解析： (1＋2x)dx＝(x＋x)|1＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a4＝18 q＝3.

13答案：3

9．(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若 f(x)dx＝2f(a)成立，

1

3

2

2

-1

则a＝________.

解析：因为 f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，所以2(3a2＋2a＋1)

1

1

-1 -1

1

＝4 a＝－1或a.

3

1

答案：－1或3

1

10．(2009·山东省高考调研卷)曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成

x的区域的面积是________．

e1e1ee2e2xe2e

解析： (2x＋2e2x)dx＝ ＋ 2xdx＋ 2e2xdx＝lnx|e1＋x|1＋e|1＝e.

1x 1x 1 1

答案：e2e

三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

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x2

11．(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)e k (1)求f(x)的单调区间；

1

(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有k的取值范围．

ex

122

解：(1)f′(x)＝－k) e k

k令f′(x)＝0，得x＝±k

当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

k+1

11

(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e k >，所以不会有 x∈(0，＋∞)，f(x)≤

ee4k

当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝e14k211

所以 x∈(0，＋∞)，f(x)≤f(－k)＝.解得－

eee21 1 故当 x∈(0，＋∞)，f(x)≤k的取值范围是－0. e 2 12．(13分)(2011·课标)已知函数f(x)＝

alnxb

＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的x＋1x

2

数学

切线方程为x＋2y－3＝0.

(1)求a，b的值；

lnxk

(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋k的取值范围．

x－1x1＋xa －lnx x b

解：(1)f′(x)＝－22

x＋1x

1

由于直线x＋2y－3＝0，且过点(1,1)，

2

f1＝1， 故 1

f′1＝－ 2

b＝1，

，即 a1

－b＝－. 2 2

解得a＝1，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝

lnx1

x＋1x

2

lnxk1k－1x－1 f(x)－＋＝2lnx＋. x－1x 1－x2 x

考虑函数h(x)＝2lnx＋则h′(x)＝

k－1k－1x2－1x＋2x

. －x2

，

x2＋12x

k(ⅰ)设k≤0，则h′(x)＝

x2＋1x …… 此处隐藏：1751字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……